Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時,求曲線在點處的切線方程;

（Ⅱ）若函數在上單調遞減,試求的取值范圍;

（Ⅲ）若函數的最小值為,試求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.（Ⅲ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用導數求出處的切線斜率，根據點斜式寫出切線方程；（Ⅱ）函數在上單調遞減，即當時， 恒成立，等價于，即可求出的取值范圍；（Ⅲ）根據函數的單調性，得出函數的最小值只能在處取得，從而求得的值.

試題解析：（Ⅰ）當時,由得: .

又∵

∴.

∴切線方程為: ,即.

（Ⅱ）∵函數在上單調遞減

∴當時, 恒成立,即當時, 恒成立.

∵函數的對稱軸為,并且開口向上,

∴當時,函數單調遞減;當時,函數單調遞增.

∴“當時, 恒成立”必須滿足: ,解得.

∴, 的取值范圍是.

（Ⅲ）設.

①當時, , 恒成立,

∴恒成立, 在上單調遞增,函數沒有最小值.

②當時, .

令得: ，解得.

∴當時, , 單調遞增;

當時, , 單調遞減;

當時, , 單調遞增.

∴當時, 取得極大值;

當時, 取得極小值.

∴當時, ,

∴,則,

又∵函數的最小值為,

∴函數的最小值只能在處取得,則,

∴,即,解得.