Question

【題目】若函數(shù)對定義域內的每一個值，在其定義域內都存在唯一的，使成立，則稱該函數(shù)為“函數(shù)”．

（1）判斷函數(shù)是否為“函數(shù)”，并說明理由；

（2）若函數(shù)在定義域上是“函數(shù)”，求的取值范圍；

（3）已知函數(shù)在定義域上為“函數(shù)”．若存在實數(shù)，使得對任意的，不等式都成立，求實數(shù)的最大值．

Answer 1

【答案】（1）不是“函數(shù)”，理由詳見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）用反例判斷函數(shù)不是“函數(shù)”；

（2）根據函數(shù)在定義域 是“函數(shù)”，探索得到的關系式，再求得的取值范圍；

（3）在（2）的基礎上，將不等式，應用分離變量求最值.

解：函數(shù)不是“函數(shù)”，理由如下：

若是“函數(shù)”．取，存在，使得

即，整理得，但是，矛盾，

所以不是“函數(shù)”．

（2）在上單調遞增，取，則存在，

使得，．

如果，取，則存在，使得，．

因為在上單調遞增，所以．

所以

又，所以，上式與之矛盾，

所以假設不成立，所以．即，即，

整理得．

因為，所以，．

又，所以的取值范圍是．

．

因為，所以的取值范圍是．

（3）函數(shù)的對稱軸為，且，

當在定義域上為“函數(shù)”時，必有．

所以函數(shù)在上單調遞增，由（2）知，必有，

即,解得．

由，，

對任意的恒成立，知．整理得

令，則在上單調遞增，．

因為是存在，使得成立，所以．

綜上所述，實數(shù)的最大值為．