已知橢圓C:的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2，一內(nèi)角為的菱形的四個(gè)頂點(diǎn).

(I)求橢圓C的方程；

(II)若直線y =" k" x 交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，在直線l:x+y-3=0上存在點(diǎn)P,使得ΔPAB為等邊三角形,求k的值.

 

【答案】

(I)     (II)

【解析】

試題分析：(I)因?yàn)闄E圓的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2，

一內(nèi)角為的菱形的四個(gè)頂點(diǎn),

所以,橢圓的方程為              

(II)設(shè)則

當(dāng)直線的斜率為時(shí)，的垂直平分線就是軸，

軸與直線的交點(diǎn)為,

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060608122230173677/SYS201306060812481142509750_DA.files/image015.png">，所以，

所以是等邊三角形,所以直線的方程為     

當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)的方程為

所以，化簡(jiǎn)得

所以，則

設(shè)的垂直平分線為，它與直線的交點(diǎn)記為

所以，解得,

則                                  

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060608122230173677/SYS201306060812481142509750_DA.files/image017.png">為等邊三角形，所以應(yīng)有

代入得到，解得（舍），

此時(shí)直線的方程為

綜上，直線的方程為或 

考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，連接橢圓C的四個(gè)頂點(diǎn)得到的四邊形的面積為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且△ABO的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及相對(duì)應(yīng)的△ABO的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），點(diǎn)M(1，
32
)在橢圓C上，拋物線E以橢圓C的中心為頂點(diǎn)，F(xiàn)2為焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l過(guò)點(diǎn)F2，且交y軸于D點(diǎn)，交拋物線E于A，B兩點(diǎn)．
①若F1B⊥F2B，求|AF2|-|BF2|的值；
②試探究：線段AB與F2D的長(zhǎng)度能否相等？如果|AB|=|F2D|，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），拋物線E以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，F(xiàn)2為焦點(diǎn)．直線l過(guò)點(diǎn)F2，且交y軸于D點(diǎn)，交拋物線E于A，B兩點(diǎn)若F1B⊥F2B，則|AF2|-|BF2|=
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年江蘇省連云港市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率e=，連接橢圓C的四個(gè)頂點(diǎn)得到的四邊形的面積為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且△ABO的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及相對(duì)應(yīng)的△ABO的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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