20．正三棱錐P-ABC的側(cè)面積是底面積的2倍，它的高PO=3，求此正三棱錐的側(cè)面積．

分析 利用已知條件求出正三棱錐的側(cè)面與底面所成二面角的大小，然后求解底面面積、側(cè)面積即可

解答 解：如圖：正三棱錐P-ABC的側(cè)面積是底面積的2倍，
可得側(cè)面與底面所成二面角為α，cosα=$\frac{{S}_{底}}{{S}_{側(cè)}}$=$\frac{1}{2}$，
∴α=60°，底面中心O到底面邊的距離為d=$\frac{3}{tan60°}$=$\sqrt{3}$，
底面三角形的高為3$\sqrt{3}$，底面邊長為：a，
則$\frac{\sqrt{3}}{2}a=3\sqrt{3}$，a=6，
底面面積為：$\frac{\sqrt{3}}{4}×{6}^{2}$=9$\sqrt{3}$．
正三棱錐的側(cè)面積：18$\sqrt{3}$．

點評 本題考查三棱錐的側(cè)面積，二面角的求法，三角形的面積以及高的求法，考查空間想象能力以及計算能力．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

10．在三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA1和BB1上各有一動點P和Q，且滿足A1P=BQ，則過P、Q、C三點的截面將棱柱分成的兩部分體積比為2：1．

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11．如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=$\frac{1}{2}A{A}_{1}$=a，E是AA1中點；
（Ⅰ）證明：A1B1∥平面CDE；
（Ⅱ） 證明：D1E⊥平面CDE；
（Ⅲ）求三棱錐D1-CDE的體積．

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8．若正三棱錐P-ABC的底面邊長為2，側(cè)面與底面所成的二面角為60°，求正三棱錐的高和體積．

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15．通常我們把三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐稱作“直角三棱錐”，在一次研究性學(xué)習(xí)活動中，老師組織同學(xué)們對“直角三棱錐”的性質(zhì)進行了探究，已知直角三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，下面的5個研究小組的研究成果：
①△ABC可能為鈍角三角形；
②PA⊥BC；
③頂點P在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的重心；
④三個側(cè)面PAB，PAC，PBC兩兩垂直；
⑤該三棱錐的外接球的半徑為$\frac{1}{2}\sqrt{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}$，
其中正確結(jié)論的序號為②④⑤．

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5．如圖，在棱柱ABC-A1B1C1中，底面為正三角形，側(cè)棱長等于底面邊長，且側(cè)棱與底面所成的角為60°，頂點為B1在底面ABC上的射影O恰好是AB的中點
（1）求證：B1C⊥C1A；
（2）求二面角C1-AB-C的大小．

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12．在如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，請連接三條線，把它分成三部分，使每一部分都是一個三棱錐

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9．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為A1C1任意一點．
（1）求證：DP∥平面AB1C
（2）求證：平面AB1D1∥平面C1BD．

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10．已知0＜a≤1，0≤b≤1，0≤c≤1，求證：$\frac{1+ab+bc+ca}{a+b+c+abc}$≥1．

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