Question

11．如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=$\frac{1}{2}A{A}_{1}$=a，E是AA₁中點(diǎn)；
（Ⅰ）證明：A₁B₁∥平面CDE；
（Ⅱ） 證明：D₁E⊥平面CDE；
（Ⅲ）求三棱錐D₁-CDE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明A₁B₁∥CD，即可證明：A₁B₁∥平面CDE；
（Ⅱ）證明：D₁E⊥DE，CD⊥D₁E，CD∩DE=D，即可證明D₁E⊥平面CDE；
（Ⅲ）三棱錐D₁-CDE的體積=$\frac{1}{3}•{D}_{1}E•\frac{1}{2}CD•ED$，即可求三棱錐D₁-CDE的體積．

解答 （Ⅰ）證明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是長(zhǎng)方體，
∴A₁B₁∥CD，
∵A₁B₁?平面CDE，CD?平面CDE，
∴A₁B₁∥平面CDE；
（Ⅱ）證明：∵AB=BC=$\frac{1}{2}A{A}_{1}$=a，E是AA₁中點(diǎn)，
∴D₁E=DE=$\sqrt{2}$a，
△DD₁E中，D₁E²+DE²=DD₁²
∴∠D₁ED=90°，
∴D₁E⊥DE，
∵CD⊥D₁E，CD∩DE=D
∴D₁E⊥平面CDE；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）D₁E⊥平面CDE，可得D₁E是三棱錐D₁-CDE的高，
∴三棱錐D₁-CDE的體積=$\frac{1}{3}•{D}_{1}E•\frac{1}{2}CD•ED$=$\frac{1}{3}•\sqrt{2}a•\frac{1}{2}•a•\sqrt{2}a$=$\frac{1}{3}{a}^{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、垂直的判定，考查三棱錐D₁-CDE的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．