Question

某耗水量較大的企業(yè)為積極響應(yīng)政府號召，對生產(chǎn)設(shè)備進行技術(shù)改造，以達到節(jié)約用水的目的．下表提供了該企業(yè)節(jié)約用水技術(shù)改造后生產(chǎn)某產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)用水y（噸）的幾組對照數(shù)據(jù)：

x	2	3	4	5
y	3	3.5	4.7	6

（1）請根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，計算

.

x

和

.

y

的值，已知x，y之間呈線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程

y

=

b

x+

a

，并解釋

b

的含義；
（參考數(shù)據(jù)：

4

i=1

x_i²=54，

4

i=1

x_iy_i=65.3）
（2）已知該廠技術(shù)改造前100噸該產(chǎn)品的生產(chǎn)用水為130噸，試根據(jù)（1）中求出的線性回歸方程，預(yù)測技術(shù)改造后生產(chǎn)100噸該產(chǎn)品的用水量比技術(shù)改造前減少了多少噸？

Answer 1

考點：線性回歸方程

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)求出利用最小二乘法所需要的幾個數(shù)據(jù)，代入求系數(shù)b的公式，求得結(jié)果，再把樣本中心點代入，求出a的值，得到線性回歸方程．
（2）根據(jù)上一問所求的線性回歸方程，把x=100代入線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的用水量比技術(shù)改造前的數(shù)量．

解答： 解：（1）由對照數(shù)據(jù)，由題意可知：

4

i=1

x_i²=54，

4

i=1

x_iy_i=65.3

.

x

=

2+3+4+5

4

=3.5，

.

y

=

1

4

（3+3.5+4.7+6）=4.3，…（2分）
所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為：

b

=

65.3-4×3.5×4.3

54-4×3.52

=1.02，

?

a

=4.3-1.02×3.5=0.73．…（5分）
所求的線性回歸方程為

?

y

=1.02x+0.73…（8分）
（2）由（1）的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)用水，得減少的生產(chǎn)用水量為130-（1.02×100+0.73）=27.27（噸水）…（12分）

點評：本題考查線性回歸方程的求法，考查最小二乘法，是一個基礎(chǔ)題，解題時運算量比較大，注意利用公式求系數(shù)時，不要在運算上出錯．屬于中檔題．