Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+sin2x+3cos²x，求
（Ⅰ）函數(shù)f（x）的最小值及此時(shí)的x的集合；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+2，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得f（x）的最小值及此時(shí)的x的集合；
（Ⅱ）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=sin²x+sin2x+3cos²x=sin2x+cos2x+2=

2

sin（2x+

π

4

）+2．
∴當(dāng)sin（2x+

π

4

）=-1，即x∈{x|x=kπ+

5π

8

（k∈Z）}時(shí)，f（x）_min=2-

2

．
（Ⅱ）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得：kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，k∈Z，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是：[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．