Question

（理工類考生做） 已知函數(shù)f(x)=loga(x2-2x+3)(a＞0，a≠1)
（1）求函數(shù)f（x）的定義域和值域．
（2）若函數(shù)f（x）有最小值

1

2

．求不等式loga(x-1)＜2的解．

Answer 1

考點：指、對數(shù)不等式的解法,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）令x²-2x+3＞0解出不等式即可得到函數(shù)的定義域，利用對數(shù)函數(shù)直接判斷函數(shù)的值域即可；
（2）利用函數(shù)的最小值求出a，然后通過對數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式求解即可．

解答： 解：函數(shù)f(x)=loga(x2-2x+3)(a＞0，a≠1)
（1）要使函數(shù)f（x）有意義，
∴x²-2x+3＞0，
即（x-1）²+2＞0，恒成立，
∴函數(shù)的定義域是R．
∵（x-1）²+2≥2，
∴當(dāng)a＞1時，f（x）≥log_a2．
當(dāng)0＜a＜1時，f（x）≤log_a2，
∴a＞1時，函數(shù)的值域[log_a2，+∞）．
0＜a＜1時，函數(shù)的值域（-∞，log_a2]．
（2）∵函數(shù)f（x）有最小值

1

2

．
∴a＞1，log_a2=

1

2

，
∴a=4，
不等式loga(x-1)＜2轉(zhuǎn)化為：log4(x-1)＜2=log₄16，
可得：0＜x-1＜16．
解得1＜x＜17．
不等式的解集：{x|1＜x＜17}．

點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域函數(shù)的值域，函數(shù)的最值的應(yīng)用，對數(shù)不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．