Question

如圖，△ABC中，B=

π

4

，角A的平分線AD交BC于點(diǎn)D，設(shè)∠BAD=α，sinα=

5

5

；
求：
（1）sin∠BAC；
（2）sinC．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計算題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）由∠BAD=α=

1

2

∠BAC＜90°，利用同角三角函數(shù)關(guān)系算出cosα=

2 5

5

，最后由二倍角的正弦公式可算出sin∠BAC的大��；
（2）由（1）的結(jié)論，算出cos∠BAC=cos2α=

3

5

，再由三角形內(nèi)角和與誘導(dǎo)公式推出sinC=sin（∠BAC+∠B），利用兩角和的正弦公式加以計算，可得sinC的值．

解答： 解：（1）∵AD是∠BAC的平分線，∴α=

1

2

∠BAC＜90°，
∵sinα=

5

5

，∴cosα=

1-sin2α

=

2 5

5

由此可得sin∠BAC=sin2α=2sinαcosα=2×

5

5

×

2 5

5

=

4

5

；
（2）由（1）得cos∠BAC=cos2α=1-2sin²α=

3

5

，
∵△ABC中，∠BAC+∠B=π-∠C
∴sinC=sin（∠BAC+∠B）=sin∠BACcosB+cos∠BAC+sinB
=

4

5

×

2

2

+

3

5

×

2

2

=

7 2

10

．

點(diǎn)評：本題在△ABC中給出角B的大小與角A一半的正弦值，求另外角的三角函數(shù)值，著重考查了三角形內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角和的三角函數(shù)公式等知識，屬于中檔題．