Question

4．已知數(shù)列{a_n}中，a_n=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$，記f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），試計(jì)算f（1），f（2），f（3）的值，推測(cè)f（n）的表達(dá)式為f（n）=$\frac{n+2}{2（n+1）}$．

Answer 1

分析 根據(jù)f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），依次求得f（1），f（2），f（3）的值，將結(jié)果轉(zhuǎn)化為同一的結(jié)構(gòu)形式，進(jìn)而推廣到一般得出f（n）的值．

解答 解：∵f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），a_n=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$，
∴f（1）=$\frac{3}{4}$，f（2）=$\frac{3}{4}•\frac{8}{9}$=$\frac{4}{6}$，f（3）=$\frac{2}{3}•\frac{15}{16}$=$\frac{5}{8}$，…，
根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可得：f（n）=$\frac{n+2}{2（n+1）}$．
故答案為：$\frac{n+2}{2（n+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要通過(guò)求值，來(lái)考查數(shù)列的規(guī)律性，同時(shí)還考查學(xué)生概括，抽象，推理，從具體到一般的能力．