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如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是邊長為2的等邊三角形,AA1⊥平面ABC,D,E,I分別是CC1,AB,AA1的中點.
(1)求證:面CEI∥平面A1BD;
(2)若H為A1B上的動點,CH與平面A1AB所成的最大角的正切值為
15
2
,求側棱AA1的長.
考點:平面與平面平行的判定,點、線、面間的距離計算
專題:綜合題,空間位置關系與距離,空間角
分析:(1)證明面CEI∥平面A1BD,只需證明EI∥平面A1BD,CE∥平面A1BD,利用三角形的中位線、平行四邊形的性質可以證明;
(3)先說明連接EH,則∠EHC為CH與平面AA1B所成的角,再在△CEH中,利用正切函數,即可得到結論.
解答: 解:(1)∵E,I分別是AB,AA1的中點,
∴EI∥BA1
∵EI?平面A1BD,BA1?平面A1BD,
∴EI∥平面A1BD,
取BA1的中點G,連接EG,DG,
∴GE平行且等于
1
2
AA1,
∵D是CC1中點,
∴CD平行且等于
1
2
AA1,
∴GE平行且等于CD,
∴四邊形GDCE是平行四邊形,
∴CE∥GD,
∵CE?平面A1BD,GD?平面A1BD,
∴CE∥平面A1BD,
∵CE∩EI=E,
∴平面A1BD∥面CEI;
(2)∵AA1⊥面ABC,CE?面ABC,
∴AA1⊥CE
又△ABC等邊三角形,E是中點,
CE⊥AB,CE=
3
2
AB=
3

所以CE⊥面AA1B,
連接EH,則∠EHC為CH與平面AA1B所成的角,
在Rt△CEH中,tan∠EHC=
CE
EH
=
3
EH

所以EH最短時∠EHC最大
此時,EH⊥A1B,
tan∠EHC=
CE
EH
=
3
EH
=
15
2
,∴EH=
2
5
5

由平幾相似關系得AA1=4.
點評:本題考查線面垂直,線面平行,考查線面角,解題的關鍵是掌握面面平行的判定方法,正確作出線面角.
練習冊系列答案
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π
4
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3
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π
4
π
2
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π
12
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1
2
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4
5

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4
5
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1
2
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