Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，1），$\overrightarrow$=（sinx+cosx，-1），若f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求函數(shù)y=f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]內(nèi)的值域．

Answer 1

分析 利用向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，二倍角公式，和差角公式，將函數(shù)解析式化為正弦型函數(shù)的形式．
（1）由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求出相位角的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]內(nèi)的值域

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，1），$\overrightarrow$=（sinx+cosx，-1），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2cosx（sinx+cosx）-1
=2sin xcos x+2cos²x-1
=sin 2x+cos 2x
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），…（4分）
（1）當(dāng)2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
得：kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，k∈Z．
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈Z…（8分）
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
知2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
從而sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，1]
故所求值域?yàn)閇-1，$\sqrt{2}$]…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，向量的數(shù)量積，二倍角公式，和差角公式，是平面向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．