Question

【題目】已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25及直線(xiàn)l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．（m∈R）
（1）證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線(xiàn)l與圓C恒相交；
（2）求直線(xiàn)l與圓C所截得的弦長(zhǎng)的最短長(zhǎng)度及此時(shí)直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線(xiàn)方程l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，可以改寫(xiě)為m（2x+y﹣7）+x+y﹣4=0，所以直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)直線(xiàn)2x+y﹣7=0和x+y﹣4=0的交點(diǎn)．由方程組 解得 即兩直線(xiàn)的交點(diǎn)為A（3，1），

又因?yàn)辄c(diǎn)A（3，1）與圓心C（1，2）的距離 ，

所以該點(diǎn)在C內(nèi)，故不論m取什么實(shí)數(shù)，直線(xiàn)l與圓C恒相交

（2）解：連接AC，當(dāng)直線(xiàn)l是AC的垂線(xiàn)時(shí)，此時(shí)的直線(xiàn)l與圓C相交于B、D．BD為直線(xiàn)l被圓所截得的最短弦長(zhǎng)．此時(shí)， ，所以 ．即最短弦長(zhǎng)為 ．

又直線(xiàn)AC的斜率 ，所以直線(xiàn)BD的斜率為2．

此時(shí)直線(xiàn)方程為：y﹣1=2（x﹣3），即2x﹣y﹣5=0

【解析】（1）要證直線(xiàn)l無(wú)論m取何實(shí)數(shù)與圓C恒相交，即要證直線(xiàn)l橫過(guò)過(guò)圓C內(nèi)一點(diǎn)，方法是把直線(xiàn)l的方程改寫(xiě)成m（2x+y﹣7）+x+y﹣4=0可知，直線(xiàn)l一定經(jīng)過(guò)直線(xiàn)2x+y﹣7=0和x+y﹣4=0的交點(diǎn)，聯(lián)立兩條直線(xiàn)的方程即可求出交點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出AC之間的距離d，判斷d小于半徑5，得證；（2）根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性可得過(guò)點(diǎn)A最長(zhǎng)的弦是直徑，最短的弦是過(guò)A垂直于直徑的弦，所以連接AC，過(guò)A作AC的垂線(xiàn)，此時(shí)的直線(xiàn)與圓C相交于B、D，弦BD為最短的弦，接下來(lái)求BD的長(zhǎng)，根據(jù)垂徑定理可得A是BD的中點(diǎn)，利用（1）圓心C到BD的距離其實(shí)就是|AC|的長(zhǎng)和圓的半徑|BC|的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可求出 |BD|的長(zhǎng)，求得|BD|的長(zhǎng)即為最短弦的長(zhǎng)；根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)求出直線(xiàn)AC的斜率，然后根據(jù)兩直線(xiàn)垂直時(shí)斜率乘積為﹣1求出直線(xiàn)BD的斜率，又直線(xiàn)BD過(guò)A（3，1），根據(jù)斜率與A點(diǎn)坐標(biāo)即可寫(xiě)出直線(xiàn)l的方程．