Question

【題目】已知函數(shù)
（1）若m=1，求函數(shù)f（x）的定義域．
（2）若函數(shù)f（x）的值域為R，求實數(shù)m的取值范圍．
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間 上是增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：若m=1，則

要使函數(shù)有意義，需x2﹣x﹣1＞0，解得x∈

∴若m=1，函數(shù)f（x）的定義域為

（2）

解：若函數(shù)f（x）的值域為R，則x2﹣mx﹣m能取遍一切正實數(shù)，

∴△=m2+4m≥0，即m∈（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）

∴若函數(shù)f（x）的值域為R，實數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）

（3）

解：若函數(shù)f（x）在區(qū)間 上是增函數(shù)，

則y=x2﹣mx﹣m在區(qū)間 上是減函數(shù)且x2﹣mx﹣m＞0在區(qū)間 上恒成立，

∴ ≥1﹣ ，且（1﹣ ）2﹣m（1﹣ ）﹣m≥0

即m≥2﹣2 且m≤2

∴m∈

【解析】（1）要使函數(shù)有意義，只需真數(shù)大于零，解不等式即可得函數(shù)的定義域；（2）若函數(shù)的值域為R，則真數(shù)應(yīng)能取遍一切正數(shù)，只需y=x2﹣mx﹣m的判別式不小于零，即可解得m的范圍；（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間 上是增函數(shù)包含兩層含義，y=x2﹣mx﹣m在區(qū)間 上是減函數(shù)且x2﹣mx﹣m＞0在區(qū)間 上恒成立，分別利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)和單調(diào)性即可解得m的范圍