Question

已知函數(shù)f（x）=log 

1

2

[（

1

2

）^x-2]
（1）求f（x）的定義域和值域；
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意知（

1

2

）^x-2＞0；從而求定義域與值域；
（2）函數(shù)f（x）=log 

1

2

[（

1

2

）^x-2]在（-∞，-1）上是增函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性證明．

解答： 解：（1）由題意知，（

1

2

）^x-2＞0；
解得，x＜-1；
故函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，-1），值域?yàn)镽；
（2）函數(shù)f（x）=log 

1

2

[（

1

2

）^x-2]在（-∞，-1）上是增函數(shù)，證明如下，
∵0＜

1

2

＜1，
∴函數(shù)g（x）=（

1

2

）^x-2在（-∞，-1）上是減函數(shù)，
y=log 

1

2

x在（0，+∞）上是減函數(shù)；
∴由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，
函數(shù)f（x）=log 

1

2

[（

1

2

）^x-2]在（-∞，-1）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．