Question

已知向量

a

=（cos（x+

π

8

），sin²（x+

π

8

）），

b

=（sin（x+

π

8

），1），函數f（x）=2

a

•

b

-1．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式，并寫出函數f（x）的周期與對稱中心坐標；
（Ⅱ）求函數y=f（-

1

2

x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）先表示出f（x）的解析式，進而利用二倍角公式和兩角和公式對其化簡利用周期公式求得周期，根據正弦函數的圖象與性質求得函數的對稱中心．
（Ⅱ）先求得y的表達式，進而根據正弦函數的單調性確定函數y的單調增區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=2

a

•

b

-1=2cos(x+

π

8

)sin(x+

π

8

)+2sin2(x+

π

8

)-1=sin(2x+

π

4

)-cos(2x+

π

4

)=

2

sin2x，
周期T=

2π

ω

=

2π

2

=π，
令y=0，即

2

sin2x=0，得2x=kπ，x=

kπ

2

，k∈Z，
∴對稱點為(

kπ

2

，0)，k∈Z．
（Ⅱ）∵y=f(-

1

2

x)=

2

sin(-x)=-

2

sinx，
∴sinx遞減，
∴2kπ+

π

2

≤x≤2kπ+

3π

2

，k∈z，
∴y=f(-

1

2

x)的單調遞增區(qū)間是[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，k∈z．

點評：本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，三角函數圖象與性質．解題過程中注意運用整體的思想來解決三角函數問題．