Question

甲、乙、丙、丁、戊5名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)知識比賽，決出第一名至第五名的名次．比賽之后甲乙兩位同學(xué)去詢問成績，回答者對甲說“很遺憾，你和乙都沒有得冠軍”，對乙說“你當(dāng)然不會是最差的”．
（1）從上述回答分析，5人的名次排列可能有多少種不同的情況？
（2）比賽組委會規(guī)定，第一名獲獎金1000元，第二名獲獎金800元，第三名獲獎金600元，第四名及第五名沒有獎金，求丙獲獎金數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）利用排列數(shù)公式能求出5人的名次排列可能情況的種數(shù)．
（2）由題意知隨機(jī)變量丙獲獎金數(shù)X的可能取值為1000，800，600，0，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出丙獲獎金數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）5人的名次排列可能情況的種數(shù)有：

A

1 3

•

A

1 3

•

A

3 3

=54種可能．…（5分）
（2）記事件“丙獲第一名、丙獲第二名、丙獲第三名、丙獲第四名、丙獲第五名”
分別為A₁、A₂、A₃、A₄、A₅，
則P(A1)=

1

3

，P(A2)=

C 1 2 C 1 2 A 2 2

C 1 3 C 1 3 A 3 3

=

8

54

=

4

27

，P(A3)=

4

27

，
P(A4)=

4

27

，P(A5)=

C 1 2 A 3 3

C 1 3 C 1 3 A 3 3

=

12

54

=

2

9

…（8分）
故隨機(jī)變量丙獲獎金數(shù)X的可能取值為1000，800，600，0，
且P(X=1000)=

1

3

，P(X=800)=

4

27

，
P(X=600)=

4

27

，P(X=0)=

4

27

+

2

9

=

10

27

，
∴隨機(jī)變量丙獲獎金數(shù)X的分布列為

X	1000	800	600	0
P	1 3	4 27	4 27	10 27

…（10分）
EX=1000×

1

3

+800×

4

27

+600×

4

27

+0×

10

27

=

1460

27

（元）．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．