Question

如圖所示的四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為a（a＞0）的菱形，∠ABC=60°，點(diǎn)P在底面的射影O在DA的延長線上，且OC過邊AB的中點(diǎn)E．
（1）證明：BD⊥平面POB；
（2）若PO=

a

2

，求三棱錐O-PAC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明四邊形OACB是邊長為a（a＞0）的菱形，可得OB⊥BD，PO⊥底面ABCD，可得PO⊥BD，即可證明BD⊥平面POB；
（2）由等體積V_O-PAC=V_P-OAC，求三棱錐O-PAC的體積．

解答： （1）證明：連接AC，
∵四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為a（a＞0）的菱形，∠ABC=60°，
∴AC=a，
∵邊AB的中點(diǎn)E，
∴OC⊥AB，
∵AB∥CD，
∴OC⊥CD，AE∥CD，AE=

1

2

CD，
∵∠ADC=60°，
∴A，E分別為OD，OC的中點(diǎn)，
連接OB，則四邊形OACB是邊長為a（a＞0）的菱形，
連接BD，在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴OB⊥BD，
∵PO⊥底面ABCD，
∴PO⊥BD，
∵PO∩BO=O，
∴BD⊥平面POB；
（2）解：由等體積V_O-PAC=V_P-OAC，OC=

3

，AE=

1

2

AB=

a

2

，
∴V_O-PAC=V_P-OAC=

1

3

×

1

2

×OC×AE×PO=

1

6

×

3

a×

a

2

×

a

2

=

3 a2

24

．
∴三棱錐O-PAC的體積為

3 a2

24

．

點(diǎn)評：本小題主要考查直線與平面垂直的判定，以及三棱錐體積的計(jì)算等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．