Question

設(shè)橢圓Γ₁的中心和拋物線Γ₂的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O，Γ₁、Γ₂的焦點(diǎn)均在x軸上，過Γ₂的焦點(diǎn)F作直線l，與Γ₂交于A、B兩點(diǎn)，在Γ₁、Γ₂上各取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：

x	3	-2	4	3
y	-2 3	0	-4	- 3 2

（1）求Γ₁，Γ₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若l與Γ₁交于C、D兩點(diǎn)，F(xiàn)₀為Γ₁的左焦點(diǎn)，求

S△F0AB

S△F0CD

的最小值；
（3）點(diǎn)P、Q是Γ₁上的兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，求證：

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

為定值；反之，當(dāng)

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

為此定值時(shí)，OP⊥OQ是否成立？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題設(shè)知點(diǎn)（3，-2

3

），（4，-4）在拋物線上，點(diǎn)（-2，0），（

3

，-

3

2

）在橢圓上，由此能求出Γ₁和Γ₂的方程．
（2）

S△F0AB

S△F0CD

=

|AB|

|CD|

．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，由已知條件推導(dǎo)出

S△F0AB

S△F0CD

=

1

k2

+

4

3

＞

4

3

；當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，

S△F0 AB

S△F0CD

=

4

3

．由此得到

S△F0AB

S△F0CD

的最小值為

4

3

．
（3）若P、Q分別為長(zhǎng)軸和短軸的端點(diǎn)，則

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

7

12

．若P、Q都不為長(zhǎng)軸和短軸的端點(diǎn)，由已知條件能推導(dǎo)出

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

7k2+7

12k2+12

=

7

12

，反之，對(duì)于Γ₁上的任意兩點(diǎn)P，Q，當(dāng)

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

7

12

時(shí)，OP⊥OQ不成立．

解答： （1）解：∵在拋物線中，x≥0，∴（-2，0）在橢圓上，
∴在橢圓中，-2≤x≤2，∴點(diǎn)（3，-2

3

），（4，-4）在拋物線上，
∴（

3

，-

3

2

）在橢圓上，
∵橢圓Γ₁的中心和拋物線Γ₂的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O，Γ₁、Γ₂的焦點(diǎn)均在x軸上，
∴設(shè)橢圓方程為

x2

4

+

y2

b2

=1，把（

3

，-

3

2

）代入，得：

3

4

+

3 4

b2

=1，解得b²=3，
∴橢圓Γ₁的方程

x2

4

+

y2

3

=1．
設(shè)拋物線方程為y²=2px，p＞0，把（4，-4）代入，得16=8p，解得p=2，
∴拋物線Γ₂的方程為y2 =4x．…（4分）
（2）（理）解：設(shè)F₀到直線l的距離為d，

S△F0AB

S△F0CD

=

1 2 d•|AB|

1 2 d|CD|

=

|AB|

|CD|

．
F（1，0）是拋物線的焦點(diǎn)，也是橢圓的右焦點(diǎn)，
①當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，
設(shè)l：y=k（x-1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
聯(lián)立方程

y2=4x y=k(x-1)

，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
k≠0時(shí)，△=4k⁴+16k²+16-4k⁴ 2 +16＞0恒成立．
|AB|=x₁+x₂+2=

4(1+k2)

k2

，…（5分）
聯(lián)立方程

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，得（3+4k²）x 2 -8k 2 x+4k²-12=0，
△=64k⁴-4（3+4k²）（4k²-12）=144k²+144＞0恒成立．
|CD|=

(1+k2 )• 144+144k2 (3+4k2)2

=

12(1+k2)

3+4k2

，…（6分）
∴

S△F0AB

S△F0CD

=

4(1+k2) k2

12(1+k2) 3+4k2

=

3+4k2

3k2

=

1

k2

+

4

3

＞

4

3

．…（8分）
②當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l：x=1，
此時(shí)，|AB|=4，|CD|=3，

S△F0 AB

S△F0CD

=

4

3

．…（9分）
∴

S△F0AB

S△F0CD

的最小值為

4

3

．…（10分）
（3）（理）證明：①若P、Q分別為長(zhǎng)軸和短軸的端點(diǎn)，
則

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

7

12

．（11分）
②若P、Q都不為長(zhǎng)軸和短軸的端點(diǎn)，
設(shè)OP：y=kx，則OQ：y=-

1

k

x，P（x_P，y_P），Q（x_Q，y_Q），
聯(lián)立方程

x2 4 + y2 3 =1 y=kx

，解得xP2=

12

4k2+3

，yP2=

12k2

4k2+3

，…（12分）
同理，聯(lián)立方程

x2 4 + y2 3 =1 y=- 1 k x

，解得xQ2=

12k2

3k2+4

，yQ2=

12

3k2+4

，
∴

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

1

12 3+4k2 + 12k2 3+4k2

+

1

12k2 3k2+4 + 12 3k2+4

=

7k2+7

12k2+12

=

7

12

，（13分）
反之，對(duì)于Γ₁上的任意兩點(diǎn)P，Q，當(dāng)

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

7

12

時(shí)，
設(shè)OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x，則xP2=

12

4k12+3

，yP2=

12k12

4k12+3

，
xQ2=

12

4k22+3

，yQ2=

12k22

4k22+3

，
由

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

7

12

，得

4k1 2 +3

12k12+12

+

4k22+3

12k2 2+12

=

7

12

，
即8k12k22k12+7k22+6=7（k12k22+k12+k22+1），亦即k₁k₂=±1，…（15分）
∴當(dāng)

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

為定值

7

12

時(shí)，OP⊥OQ不成立，…（16分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程和拋物線方程的求法，考查三角形面積比值的最小值的求法，考查定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．