Question

設(shè)橢圓Γ₁的中心和拋物線Γ₂的頂點均為原點O，Γ₁、Γ₂的焦點均在x軸上，過Γ₂的焦點F作直線l，與Γ₂交于A、B兩點，在Γ₁、Γ₂上各取兩個點，將其坐標(biāo)記錄于下表中：

x	3	-2	4	3
y	-2 3	0	-4	- 3 2

（1）求Γ₁，Γ₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)M是Γ₂準(zhǔn)線上一點，直線MF的斜率為k₀，MA、MB的斜率依次為
k₁、k₂，請?zhí)骄浚簁₀與k₁+k₂的關(guān)系；
（3）若l與Γ₁交于C、D兩點，F(xiàn)₀為Γ₁的左焦點，問

S△F0AB

S△F0AB

是否有最小值？若有，求出最小值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）（-2，0），（

3

，-

3

2

）在橢圓上，（3，-2

3

），（4，-4）在拋物線上，可得Γ₁，Γ₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）分類討論，設(shè)l：y=k（x-1），與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理，結(jié)合斜率公式，可得結(jié)論；
（3）設(shè)F₀到直線l的距離為d，則

S△F0AB

S△F0AB

=

1 2 d|AB|

1 2 d|CD|

=

|AB|

|CD|

，分類討論，利用韋達定理，求弦長，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）（-2，0），（

3

，-

3

2

）在橢圓上，（3，-2

3

），（4，-4）在拋物線上，
∴橢圓Γ₁：

x2

4

+

y2

3

=1，拋物線Γ₂：y²=4x …（4分）
（2）F（1，0）是拋物線的焦點，
①當(dāng)直線l的斜率存在時，
設(shè)l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，k≠0時△＞0恒成立
x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1，…（6分）
因Γ₂準(zhǔn)線為x=-1，設(shè)M（-1，m），k₀=-

m

2

，k₁=

y1-m

x1+1

，k₂=

y2-m

x2+1

，
∴k₁+k₂=

kx1-k-m

x1+1

+

kx2-k-m

x2+1

=-m
∴k₁+k₂=2k₀，..…（8分）
②當(dāng)直線l的斜率不存在時，l：x=1得A（1，2），B（1，-2），k₁=

2-m

2

，k₂=

-2-m

2

，
∴k₁+k₂═-m
∴k₁+k₂=2k₀，..…（10分）
（3）設(shè)F₀到直線l的距離為d，則

S△F0AB

S△F0AB

=

1 2 d|AB|

1 2 d|CD|

=

|AB|

|CD|

．
F（1，0）是拋物線的焦點，也是橢圓的右焦點，
①當(dāng)直線l的斜率存在時，
設(shè)l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
聯(lián)立方程得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，k≠0時△＞0恒成立
x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1，
|AB|=

1+k2

•|x₁-x₂|=

4(1+k2)

k2

（11分）
y=k（x-1），代入橢圓方程，可得聯(lián)立方程（3+k²）x²-8k²x+4k²-12=0，△＞0恒成立
|CD|=|=

1+k2

•|x₃-x₄|=

12(1+k2)

3+4k2

，…（12分）
∴

S△F0AB

S△F0AB

=

1 2 d|AB|

1 2 d|CD|

=

|AB|

|CD|

=

3+4k2

3k2

=

1

k2

+

4

3

＞

4

3

．…（14分）
②當(dāng)直線l的斜率不存在時，l：x=1，
此時，|AB|=4，|CD|=3，∴

S△F0AB

S△F0AB

=

4

3

．…（15分）
∴

S△F0AB

S△F0AB

的最小值為

4

3

．…（16分）

點評：本題考查拋物線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．