Question

12．設(shè)等差數(shù)列{a_n}滿足a₂=9，且a₁，a₅是方程x²-16x+60=0的兩根．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求{a_n}的前多少項(xiàng)的和最大，并求此最大值；
（3）求數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過韋達(dá)定理可知a₁+a₅=16，利用等差數(shù)列{a_n}滿足a₂=9可知（9-d）+（9+3d）=16，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過（1）、利用等差數(shù)列的求和公式配方可知S_n=-$\frac{1}{2}$$（n-\frac{21}{2}）^{2}$+$\frac{441}{8}$，進(jìn)而可得結(jié)論；
（3）通過（2）分n≤11、n≥12兩種情況討論即可．

解答 解：（1）∵a₁，a₅是方程x²-16x+60=0的兩根，
∴a₁+a₅=16，
又∵等差數(shù)列{a_n}滿足a₂=9，
∴（9-d）+（9+3d）=16，即d=-1，
∴a_n=a₂+（n-2）d=11-n；
（2）由（1）可知S_n=$\frac{n（10+11-n）}{2}$=$\frac{-{n}^{2}+21n}{2}$=-$\frac{1}{2}$$（n-\frac{21}{2}）^{2}$+$\frac{441}{8}$，
故當(dāng)n=10或11時(shí)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和S_n最大，
且最大值為$-\frac{1}{2}•\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{441}{8}$=55；
（3）由（2）知數(shù)列{a_n}的前10或11項(xiàng)的和最大，
∴當(dāng)n≤11時(shí)，T_n=S_n=$\frac{-{n}^{2}+21n}{2}$；
當(dāng)n≥12時(shí)，T_n=2S₁₁-S_n=110-$\frac{-{n}^{2}+21n}{2}$；
綜上所述，數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-{n}^{2}+21n}{2}，}&{n≤11}\\{110-\frac{-{n}^{2}+21n}{2}，}&{n≥12}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．