Question

【題目】如圖,四棱錐的側面是正三角形,,且,,是中點.

（1）求證：平面；

（2）若平面平面,且,求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1) 取的中點,連接,再證明四邊形是平行四邊形即可.

(2) 取中點,連接,,根據(jù)線面垂直性質計算可得,再以為原點,建立空間直角坐標系,利用空間向量的方法求解二面角的余弦值即可.

（1）取的中點,連接,

因為是中點,

所以,且,

又因為,,

所以,,

即四邊形是平行四邊形,

所以,

又因為平面,平面,

所以平面；

（2）方法一：取中點,連接,,

因為是正三角形,所以,

因為平面平面,

所以平面,平面,

所以,

故,

以為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,

,,,,,,

所以,,

設平面的法向量為,則,,

令得,

易知平面的法向量為,

則,

所以二面角的余弦值為.

方法二：過作交于,

所以,且平面,

過作交于,連接,

所以,

所以為二面角的平面角,

因為,,

因為平面,

所以,且,

又因為,所以,,

故,所以二面角的余弦值為.