Question

【題目】已知(a>0)是定義在R上的偶函數(shù)，

（1）求實數(shù)a的值；

（2）判斷并證明函數(shù)在的單調(diào)性；

（3）若關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）函數(shù)在上是單調(diào)遞增的；（3）.

【解析】

試題（1）由函數(shù)為偶函數(shù)，得，代入函數(shù)表達(dá)式，化簡求得，由，得；（2）用定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增的步驟：設(shè)值—作差、變形—判斷符號—得出結(jié)論；（3）將不等式轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即，只需求得函數(shù)的最小值，代入不等式即可求得m的范圍.

試題解析：解析：(1)因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)

即＝

∴ex－e－x＝0，

∴(ex－e－x)＝0，

∴a－＝0，即a＝±1.

而a＞0，∴，∴f(x)＝ex＋e－x.

（2）函數(shù)在上是單調(diào)遞增的.

證明：任取且x1＜x2，

∴f(x)在上是增函數(shù)．

（3）由題意，在上恒成立，

則只需

∵f(x)為偶函數(shù)，且f(x)在上是增函數(shù)∴f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)，

∴f(x)的最小值為

則有，因此.