Question

13．已知x滿足：log₂（2^x+1）•log₂（2^x+1+2）≤2，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 把原不等式變形，然后利用log₂（2^x+1）=t換元，化為關(guān)于t的一元二次不等式后求解t的范圍，進(jìn)一步求解指數(shù)不等式得答案．

解答 解：由log₂（2^x+1）•log₂（2^x+1+2）≤2，得log₂（2^x+1）•log₂2（2^x+1）≤2，
即log₂（2^x+1）[1+log₂（2^x+1）]≤2，
∴$[lo{g}_{2}（{2}^{x}+1）]^{2}+$log₂（2^x+1）-2≤0，
令log₂（2^x+1）=t，則t²+t-2≤0，解得-2≤t≤1．
∴-2≤log₂（2^x+1）≤1．
則$\frac{1}{4}≤{2}^{x}+1≤2$，
∴$-\frac{3}{4}≤{2}^{x}≤1$，解得：x≤0．
∴x的取值范圍是（-∞，0]．

點評 本題考查指數(shù)不等式和對數(shù)不等式的解法，考查了換元法，是中檔題．