Question

【題目】已知無窮數(shù)列滿足：，．

（Ⅰ）若；

（�。┣笞C：；

（ⅱ）數(shù)列的前項(xiàng)和為且，求證：；

（Ⅱ）若對(duì)任意的，都有，寫出的取值范圍并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（ⅰ）見解析；（ⅱ）見解析（Ⅱ），見解析

【解析】

（Ⅰ）（�。┦紫雀鶕�(jù)已知條件推出與的大小關(guān)系，計(jì)算出，然后求出的取值范圍，從而可使問題得證；（ⅱ）首先根據(jù)條件求出，然后求出，從而結(jié)合（�。┑慕Y(jié)論使問題得證；

（Ⅱ）首先分，，三種情況求出的取值范圍，然后當(dāng)時(shí)，求出的取值范圍，從而可推出在時(shí)，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，即可求解的取值范圍．

（Ⅰ）證明：（�。�，

①，∵，∴，∴，

②假設(shè)時(shí)，，則，

∴時(shí)，，，

由①②對(duì)一切正整數(shù)都有，

∴，

∴，

∴，

∴，

但當(dāng)時(shí)，，

∴．

（ⅱ）∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

由（�。┲�，

∴．

（Ⅱ）∵對(duì)任意的，都有，

且，∴顯然，由（I）證明知，

①若，則，∴，∴；

②若，則為常數(shù)列，∴；

③若，則，∴，

又，

若，則，則，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，有，

∴當(dāng)時(shí)，，不符合題意．

綜上可知，。