Question

15．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且橢圓的短軸長為2．
（1）若P是該橢圓上的一個動點，求函數(shù)z=x²+y²-3的最值，并指出取得最值時，點P的位置；
（2）過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點A，B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且橢圓的短軸長為2，求出a，b，求得橢圓方程，再求出函數(shù)z=x²+y²-3的最值，并指出取得最值時，點P的位置；
（2）設出直線方程，與已知橢圓聯(lián)立方程組，運用設而不求韋達定理求出根的關系，求出k的取值范圍．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且橢圓的短軸長為2．
∴a=2，b=1
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
z=x²+y²-3=z=x²+1-$\frac{1}{4}$x²-3=$\frac{3}{4}$x²-2，
∴x=0時，z取得最小值-2，P為橢圓的短軸頂點；x=±2時，z取得最大值1，P為橢圓的長軸頂點；
（2）顯然直線x=0不滿足題設條件，
可設直線l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入橢圓方程，消去y，整理得：（k²+$\frac{1}{4}$）x²+4kx+3=0
∴x₁+x₂=-$\frac{4k}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$，x₁x₂=$\frac{3}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$
由△=（4k）²-4（k²+$\frac{1}{4}$）×3=4k²-3＞0得：k＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或k＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$①
又0°＜∠AOB＜90°?cos∠AOB＞0，
cos∠AOB＞0?$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＞0
∴x₁x₂+y₁y₂＞0
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）
=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=k²×$\frac{3}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$+2k×（-$\frac{4k}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$ ）+4=$\frac{-{k}^{2}+1}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$
∴$\frac{3}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$+$\frac{-{k}^{2}+1}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$＞0
即k²＜4，∴-2＜k＜2②
故由①、②得：
-2＜k＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜k＜2．

點評 本題主要考查直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎知識，以及綜合應用數(shù)學知識解決問題及推理計算能力．本題為中檔題，需要熟練運用設而不求韋達定理．