Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點分別為，是橢圓上的點，且的面積為。

（1）求橢圓的方程；

（2）若斜率為且在軸上的截距為的直線與橢圓相交于兩點，若橢圓上存在點，滿足，其中是坐標原點，求的值。

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）利用已知條件列出橢圓幾何量的方程組，求解a，b，即可求橢圓C的方程；

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理，結(jié)合向量關(guān)系，推出結(jié)果即可．

（1）∵△PF1F2的面積為，∴×2c×＝，即c＝1，

由，解得a2＝2，b2＝1，∴橢圓C的方程為+y2＝1；

（2）由題意可得l：y＝k（x﹣2），設點A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），

由，消y可得（1+2k2）x2﹣8kx+8k2﹣2＝0，

∴△＝64k2﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，可得k2＜，

∴x1+x2＝，x1x2＝，

∵，∴＝3﹣3（﹣），即＝（+），

∴（x，y）＝（x1+x2，y1+y2），∴x＝（x1+x2）＝

y＝[k（x1+x2）﹣4k]＝，∴Q（，），∵點Q在橢圓C上，

∴+2＝2，∴9k2＝1+2k2，解得k＝±．