Question

【題目】如圖，在四棱臺(tái)ABCD﹣A1B1C1D1中，平面BCC1B1⊥平面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，四邊形BCC1B1為等腰梯形，BC=4，B1C1=C1C=2，AB=5，AC⊥BC．

（1）求證：BC1⊥平面ACC1；
（2）求直線BC1與平面ADD1A1所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，在BCC1B1內(nèi)過點(diǎn)C1作C1M⊥BC于點(diǎn)M，

因?yàn)樗倪呅蜟C1B1為等腰梯形，BC=4，B1C1=C1C=2，所以MC=1，MB=3，

在Rt△C1MC中，知MC1= ，所以BC1=2 ，

可得BC1⊥CC1，

又因AC⊥BC，平面BCC1B1⊥平面ABCD，

平面BCC1B1∩平面ABCD=BC，所以AC⊥平面BCC1B1，

因?yàn)锽C1平面BCC1B1，所以AC⊥BC1，

又因AC∩CC1=C，

所以BC1⊥平面ACC1

（2）解：延長(zhǎng)BB1，CC1，AA1，DD1知相交于一點(diǎn)，記該點(diǎn)為P，取BC中點(diǎn)O，

在四棱臺(tái)中，PO⊥BC，

又因平面BCC1B1⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，

取AB中點(diǎn)N，知ON∥AC，且ON⊥BC，所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（3，﹣2，0），B（0，2，0），C（0，﹣2，0），P（0，0，2 ）， ，

所以 =（0，﹣3， ） =（3，﹣2，﹣2 ）， = =（0，﹣4，0）．

設(shè)平面ADD1A1的法向量為 =（x，y，z），則 ，可取 =（2，0， ）

所以cos＜ ， ＞= ，故直線BC1與平面ADD1A1所成的角的正弦值為 ．

【解析】（1）在BCC1B1內(nèi)過點(diǎn)C1作C1M⊥BC于點(diǎn)M，證明BC1⊥CC1 ， AC⊥BC1 ， 即可證明BC1⊥平面ACC1；（2）求出平面ADD1A1的法向量，即可求直線BC1與平面ADD1A1所成的角的正弦值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能得出正確答案．