Question

一計(jì)算機(jī)裝置有一個(gè)數(shù)據(jù)入口A和一個(gè)運(yùn)算結(jié)果出口B，將正整數(shù)列{n}中的各數(shù)依次輸入入口A，從出口B得到輸出的數(shù)列{a_n}，結(jié)果表明：①A口輸入n=1時(shí)，從B口得到a₁=

1

3

；②當(dāng)n≥2時(shí)，從A口輸入n，從B口得到的結(jié)果a_n是將前一結(jié)果a_n-1先乘以正整數(shù)列{n}中的第n-1個(gè)奇數(shù)，再除以正整數(shù)列{n}中的第n+1n+1個(gè)奇數(shù)．
（1）從A口輸入2和3時(shí)，求從B口得到的數(shù)a₂，a₃分別是多少？
（2）當(dāng)A口輸入正整數(shù)列{n}時(shí)，求從B口得到的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)題意，由n=1時(shí)，a₁求出a₂、a₃的值；
（2）由a₁、a₂、a₃，歸納猜想得出a_n．

解答： 解：（1）n=1時(shí)，a₁=

1

3

；
n=2時(shí)，a₂=a₁•1•

1

5

=

1

3

×1×

1

5

=

1

15

；
n=3時(shí)，a₃=a₂•3•

1

7

=

1

15

×3×

1

7

=

1

35

；
（2）∵a₁=

1

3

=

1

1×3

，
a₂=

1

15

=

1

3×5

，
a₃=

1

35

=

1

5×7

，…，
∴a_n=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

4n2-1

，n∈N^*；
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為
a_n=

1

4n2-1

，n∈N^*．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了歸納與猜想的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．