Question

20．在以v千米/小時的速度向東航行的科學(xué)探測船上釋放了一個探測熱氣球，氣球順風與船同向，以2千米/小時的速度沿與水平方向成60°直線方向向上飄去，2小時后測得探測船與氣球的距離為2$\sqrt{7}$千米，之后熱氣球沿水平方向仍以2千米/小時的速度飛行1小時，第二次測得探測船與熱氣球的距離為s千米．如圖．
（1）求探測船的速度v（千米/小時）；
（2）求第二次測距離時，從探測船位置觀察熱氣球時，仰角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理解三角形ABC，得到關(guān)于v的等式解之；
（2）過C作直線DF⊥BE，垂足為F，得到DF，EF的長度，利用勾股定理得到s，得到所求．

解答 解：（1）在△ABC中，AB=2×2=4km，BC=2v，AC=2$\sqrt{7}$，∠ABC=60°，由余弦定理得到AC²=AB²+BC²-2AB×BCcos∠ABC，即28=16+4v²-8v，解得v=3，（v=-1舍去）；
（2）過D作直線DF⊥BE，垂足為F，則DF=ABsin∠ABC=2$\sqrt{3}$km，EF=BE-BF=BE-ABcos∠ABC-AD=5km，
所以s=$\sqrt{D{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{12+25}=\sqrt{37}$km，所以sin∠E=$\frac{DF}{s}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{37}}=\frac{3\sqrt{111}}{37}$．
所以第二次測距離時，從探測船位置觀察熱氣球時仰角的正弦值為$\frac{3\sqrt{111}}{37}$．

點評 本題考查了解三角形；用到了余弦定理、勾股定理等知識．