Question

 已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=

6

．點(diǎn)F，E分別是邊A₁C₁和側(cè)棱BB₁的中點(diǎn)．
（1）證明：FB⊥平面AEC；
（2）求二面角F-AE-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取AC的中點(diǎn)O，連接OF，OB，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)A，OB，OF所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，證明FB⊥AE，F(xiàn)B⊥AC，即可證明FB⊥平面AEC；
（2）求出平面AEF的法向量、平面AEC的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角F-AE-C的余弦值．

解答： （1）證明：取AC的中點(diǎn)O，連接OF，OB，則有A₁A∥FO，故FO⊥平面ABC，
在正三角形ABC中，O是AC的中點(diǎn)，故OB⊥AC，OA=OC=1，OB=

3

，
如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)A，OB，OF所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，

3

，0），C（-1，0，0），E（0，

3

，

6

2

），F(xiàn)（0，0，

6

），
∴

FB

=（0，

3

，-

6

），

AE

=（-1，

3

，

6

2

），

AC

=（-2，0，0），

AF

=（-1，0，

6

），
∵

FB

•

AE

=（0，

3

，-

6

）•（-1，

3

，

6

2

）=0，
∴

FB

⊥

AE

，即FB⊥AE，
又∵

FB

•

AC

=（0，

3

，-

6

）•（-2，0，0），
∴

FB

⊥

AC

，即FB⊥AC，
而AE∩AC=A，∴FB⊥平面ABC；   …（6分）
（2）解：設(shè)平面AEF的法向量為

n

=（a，b，c），
則

-a+ 3 b+ 6 2 c=0 -a+ 6 c=0

，令c=

6

，則a=6，b=

3

，
即

n

=（6，

3

，

6

），由（1）知平面AEC的一個(gè)法向量為

FB

，
設(shè)二面角F-AE-C的平面角為θ，易知0＜θ＜

π

2

，
∴cosθ=|

FB •n

| FB ||n|

|=

5

15

．                                           …（12分）

點(diǎn)評：本題考查線面垂直，考查平面與平面所成的角，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．