Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax，g（x）=lnx
（1）若函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）既有極大值，又有極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)h（x）=f（x）+g（

1+ax

2

），若對(duì)任意的a∈（1，2），總存在x∈[

1

2

，1]，使不等式h（x）＞k（1-a²）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，由題意可得F（x）既有極大值又有極小值?方程2x²-ax+1=0有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根x₁，x₂，即可求得a的取值范圍；
（2）求出x∈[

1

2

，1]，h（x）_max=h（1）=1-a+ln

1+a

2

（a∈（1，2）），對(duì)任意的a∈（1，2），總存在x∈[

1

2

，1]，使不等式h（x）＞k（1-a²）成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的a∈（1，2），不等式1-a+ln

1+a

2

＞k（1-a²）成立，分類討論，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵F′（x）=

2x2-ax+1

x

（x＞0），
∴F（x）既有極大值又有極小值?方程2x²-ax+1=0有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根x₁，x₂．
∴△=a²-8＞0，

a

4

＞0，0-0+1＞0
∴a＞2

2

；
（2）h（x）=f（x）+g（

1+ax

2

）=x²-ax+ln

1+ax

2

，
∴h′（x）=

2ax(x- a2-2 2a )

ax+1

，
∵a∈（1，2），∴

a2-2

2a

＜

1

2

，
∴x∈（

1

2

，+∞）時(shí)，h（x）是增函數(shù)，
∴x∈[

1

2

，1]，h（x）_max=h（1）=1-a+ln

1+a

2

（a∈（1，2）），
∵對(duì)任意的a∈（1，2），總存在x∈[

1

2

，1]，使不等式h（x）＞k（1-a²）成立，
∴對(duì)任意的a∈（1，2），不等式1-a+ln

1+a

2

＞k（1-a²）成立．
令φ（a）=1-a+ln

1+a

2

-k（1-a²），則φ′（a）=

a

a+1

（2ka+2k-1），
①k=0時(shí)，φ′（a）=-

a

a+1

＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，此時(shí)φ（a）＜φ（1）=0，不合題意；
②k＜0，函數(shù)在（1，2）單調(diào)遞減，此時(shí)φ（a）＜φ（1）=0，不合題意；
③0＜k＜

1

2

，函數(shù)在a=

1-2k

2k

處取得最小值，不合題意；
④k≥

1

2

，函數(shù)在（1，2）單調(diào)遞增，此時(shí)φ（2）＞0，符合題意；
∴k≥

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，突出考查構(gòu)造函數(shù)的思想，轉(zhuǎn)化與分類討論的思想，考查恒成立問題，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于難題．