Question

13．（1）$（\sqrt{x}+\frac{1}{2x}{）^n}$的展開式中第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，求展開式的常數(shù)項(xiàng)．
（2）（1-2x）²⁰¹⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₅x²⁰¹⁵（x∈R）
①求a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₅的值．      
②求$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+…+\frac{{{a_{2015}}}}{{{2^{2015}}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出n的值，再利用展開式的通項(xiàng)公式求出常數(shù)項(xiàng)；
（2）由（1-2x）²⁰¹⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₅x²⁰¹⁵，令x=1，可求出a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₅的值；令x=0和$\frac{1}{2}$，可求出a₀與$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2015}}{{2}^{2015}}$的值．

解答 解：（1）∵$（\sqrt{x}+\frac{1}{2x}{）^n}$的展開式中第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
∴展開式有10項(xiàng)，n=9；
∴展開式的通項(xiàng)為
T_r+1=${C}_{9}^{r}$•${（\sqrt{x}）}^{9-r}$•${（\frac{1}{2x}）}^{r}$
=${C}_{9}^{r}$•${（\frac{1}{2}）}^{r}$•$\frac{9-3r}{2}$；
令$\frac{9-3r}{2}$=0，
解得r=3；
∴展開式中常數(shù)項(xiàng)為${C}_{9}^{3}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{21}{2}$；
（2）①∵（1-2x）²⁰¹⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₅x²⁰¹⁵（x∈R），
∴令x=1，得a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₅=（1-2）²⁰¹⁵=-1；
②令x=0，得a₀=（1-0）²⁰¹⁵=1；
令x=$\frac{1}{2}$，得a₀+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2015}}{{2}^{2015}}$=（1-1）²=0；
∴$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2015}}{{2}^{2015}}$=-a₀=-1．

點(diǎn)評 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，也考查了用特殊值求二項(xiàng)展開式的系數(shù)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．