Question

矩形PQRS的兩條對角線相交于點(diǎn)M（1，0），PQ邊所在的直線方程為x-y-2=0，原點(diǎn)O（0，0）在PS邊所在直線上，
（1）矩形PQRS外接圓的方程；
（2）設(shè)A（0，t），B（0，t+6）（-5≤t≤-2），若（1）的圓是△ABC的內(nèi)切圓，求△ABC的面積S的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）由已知得k_PR=-1，l_PR：y=x，又l_PQ：x-y-2=0，則r=|PM|=1，由此能求出圓的方程．
（2）設(shè)l_AC：kx-y+t=0，由已知得lAC：y=

1-t2

2t

x+t，同理lBC：y=

1-(t+6)2

2(t+6)

x+(t+6)，聯(lián)立得x=

2t(t+6)

1+t(t+6)

，由此能求出△ABC的面積S的最大值和最小值．

解答： 解：（1）由已知k_PQ=1又k_PQ•k_PR=-1，
∴k_PR=-1，
∴l(xiāng)_PR：y=x，
又l_PQ：x-y-2=0，∴P（1，-1），
則r=|PM|=1，
∴圓的方程為（x-1）²+y²=1．
（2）設(shè)l_AC：y=kx+t，
即kx-y+t=0，
由已知

|k+t|

k2+1

=1k=

1-t2

2t

，
∴lAC：y=

1-t2

2t

x+t，
同理lBC：y=

1-(t+6)2

2(t+6)

x+(t+6)，
聯(lián)立得x=

2t(t+6)

1+t(t+6)

，
∴S=

1

2

[(t+6)-t]•

2t(t+6)

1+t(t+6)

=

6t(t+6)

1+t(t+6)

=

6

1+ 1 t(t+6)

，
∵-5≤t≤-2，∴t（t+6）=（t+3）²-9∈[-9，-5]，
∴-

1

5

≤

1

t(t+6)

≤-

1

9

，∴

27

4

≤

6

1+ 1 t(t+6)

≤

15

2

，
當(dāng)t=-3時，S有最小值

27

4

，
當(dāng)t=-5時，S有最小值

15

2

．

點(diǎn)評：本題考查矩形外接圓半徑的求法，考查三角形的面積的最大值和最小值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．