Question

已知點(diǎn)M是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為C的左右焦點(diǎn)，|F₁F₂|=2

3

，∠F₁MF₂=60°，△F₁MF₂的面積為

3

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F₂的直線l和橢圓交于兩點(diǎn)A，B，是否存在直線l，使得△OAF₂與△OBF₂的面積比值為2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：本題（1）利用正弦面積公式、余弦定理得到|MF₁|、|MF₂|的和，從而求出參數(shù)a、b、c，得到橢圓的方程；（2）將條件中的面積比轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，得到兩點(diǎn)縱坐關(guān)系，再通過(guò)直線和橢圓聯(lián)列的方程組，得到兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)系，從而求出參數(shù)k，得到直線l的方程，說(shuō)明其存在性．

解答： 解：（1）在△F₁MF₂中，S△F1MF2=

1

2

|MF1||MF2|sin60°=

3

3

，
得到：|MF1||MF2|=

4

3

．
由余弦定理，得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|COS60°．
=(|MF1|+|MF2|)2-2|MF1||MF2|(1+COS60°)，
∴|MF₁|+|MF₂|=4．
∴2a=|MF₁|+|MF₂|=4，即a=2，b²=a²-c²=1．
故橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
（2）∵△OAF₂與△OBF₂的面積比值為2，
∴AF₂：BF₂=2，則

AF2

=2

F2B

，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則(

3

-x1，-y1)=2(x2-

3

，y2)，
∴y₁=-2y₂   ①
設(shè)直線l的方程為x=ky+

3

．
由

x2 4 +y2=1 y=kx+ 3

，得到(k2+4)y2+2

3

y-1=0，
則y1+y2=-

2 3 k

k2+4

   ②
y1y2=-

1

k2+4

      ③
由①②③得k=±

2 23

23

，
因此存在直線l：x=±

2 23

23

y+

3

使得△OAF₂與△OBF₂的面積比值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦面積公式、余弦定理、橢圓的定義、韋達(dá)定理，以及化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，有一定的探索性，屬于中檔題．