Question

2．一支探險隊要穿越一個“死亡谷”，在這個峽谷中，某種侵擾性昆蟲的密度f（t）（只/立方米）近似于時間t（時）的一個連續(xù)函數，該函數的表達式為f（t）=$\left\{\begin{array}{l}1000cos\frac{（t-9）π}{4}+2000，\;\;9≤t≤17\\ 3000，\;\;0≤t＜9或17＜t≤24\end{array}$．
（Ⅰ）求一天中該種昆蟲密度f（t）的最小值和相應的時間t；
（Ⅱ）已知當密度超出2000只/立方米時，該種昆蟲的侵擾將是致命的．問最早幾點進入該峽谷可避免遭受該種昆蟲致命性侵擾．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（1）當9≤t≤17時，$f（t）=1000cos\frac{（t-9）π}{4}+2000$，當t=13時，f（t）_min=1000×（-1）+2000=1000；（2）當0≤t＜9或17＜t≤24時，f（t）=3000；
從而求最小值即相應的時間；
（Ⅱ）解法1，先求f（t）=2000時得$cos\frac{（t-9）π}{4}=0$，從而可得t=11或t=15，從而解得；
解法2，令f（t）≤2000得$1000cos\frac{（t-9）π}{4}+2000≤2000$，從而解得11≤t≤15，從而解得．

解答 解：（Ⅰ）（1）當9≤t≤17時，$f（t）=1000cos\frac{（t-9）π}{4}+2000$，
∵$0≤\frac{（t-9）π}{4}≤2π$，
∴$當\frac{（t-9）π}{4}=π，\;\;即t=13時，cos\frac{（t-9）π}{4}=-1$，
f（t）_min=1000×（-1）+2000=1000；
（2）當0≤t＜9或17＜t≤24時，f（t）=3000；
所以，一天中該種昆蟲密度的最小值是1000（只/立方米），出現最小值時的時間t=13．
（Ⅱ）解法1，依題意當f（t）≤2000時，可避免遭受該種昆蟲致命性侵擾．
由f（t）=2000，得$cos\frac{（t-9）π}{4}=0$，
∵當9≤t≤17時，$0≤\frac{（t-9）π}{4}≤2π$，
∴$\frac{（t-9）π}{4}=\frac{π}{2}$或$\frac{（t-9）π}{4}=\frac{3π}{2}$；
得t=11或t=15；
∴最早11點進入該峽谷可避免遭受該種昆蟲致命性侵擾．
（Ⅱ）解法2，依題意，當f（t）≤2000時，可避免遭受該種昆蟲致命性侵擾．
令f（t）≤2000，即$1000cos\frac{（t-9）π}{4}+2000≤2000$，得$cos\frac{（t-9）π}{4}≤0$；
則$2kπ+\frac{π}{2}≤\frac{（t-9）π}{4}≤2kπ+\frac{3π}{2}，k∈Z$，
得 8k+11≤t≤8k+15，k∈Z，
又∵9≤t≤17，
∴11≤t≤15，
∴最早11點進入該峽谷可避免遭受該種昆蟲致命性侵擾．

點評 本題考查了分段函數在實際問題中的應用，同時考查了三角函數的應用，屬于中檔題．