【題目】已知函數(shù)φ(x)=,a為正常數(shù)

()f(x)=ln xφ(x),a=4討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

()g(x)=|ln x|+φ(x)且對任意x1,x2(0,2]x1x2都有

()求實數(shù)a的取值范圍;

()求證:當(dāng)x(0,2]

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ) (ⅰ) ; (ⅱ)見解析.

【解析】試題分析:(1)先對函數(shù)y=f(x)進行求導(dǎo),然后令導(dǎo)函數(shù)大于0(或小于0)求出x的范圍,根據(jù)f′(x)>0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間,f′(x)<0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間,即可得到答案.
(2)設(shè)h(x)=g(x)+x,依題意得出h(x)在(0,2]上是減函數(shù).(ⅰ)下面對x分類討論:當(dāng)1≤x≤2時,當(dāng)0<x<1時,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從及最值,即可求得求a的取值范圍.

(ⅱ) h(x)在(0,2]上是減函數(shù),所以h(x)≥h(2),即g(x)+x≥ln 2++2,由a的范圍放縮得:g(x)≥ln 2++2-x,進而構(gòu)造函數(shù)T(x)=ln 2++2-x,利用單調(diào)性即可證得.

試題解析:

(Ⅰ)當(dāng)a=4時,f(x)=ln x,定義域為(0,+∞),

f′(x)=≥0,

所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

(Ⅱ)因為<-1,

所以+1<0, <0 .

設(shè)h(x)=g(x)+x,依題意,h(x)在(0,2]上是減函數(shù),h′(x)≤0恒成立.

(ⅰ)①當(dāng)1≤x≤2時,h(x)=ln xx,h′(x)=+1≤0.

從而,a+(x+1)2x2+3x+3對x∈[1,2]恒成立.

設(shè)m(x)=x2+3x+3,x∈[1,2],則m′(x)=2x+3->0.

所以m(x)在[1,2]上是增函數(shù),則當(dāng)x=2時,m(x)有最大值為,所以a.

②當(dāng)0<x<1時,h(x)=-ln xx,h′(x)=-+1≤0.

從而,a≥-+(x+1)2x2x-1.

設(shè)t(x)=x2x-1,則t′(x)=2x+1+>0,

所以t(x)在(0,1)上是增函數(shù).所以t(x)<t(1)=0,所以a≥0.

綜合①②,又因為h(x)在(0,2]上圖形是連續(xù)不斷的,所以a.

(ⅱ)因為h(x)在(0,2]上是減函數(shù),所以h(x)≥h(2),即g(x)+x≥ln 2++2.

由(ⅰ)得,a,∴g(x)+x≥ln 2++2≥ln 2++2,

g(x)+x≥ln 2++2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時等號成立.

從而g(x)≥ln 2++2-x.

T(x)=ln 2++2-x,則T(x)在(0,2]上單調(diào)遞減.

T(x)≥T(2)=ln 2+.

T(x)≥ln 2+.

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年份

2011

2012

2013

2014

2015

2016

年宣傳費(萬元)

38

48

58

68

78

88

年銷售量(噸)

168

188

207

224

240

255

經(jīng)電腦模擬,發(fā)現(xiàn)年宣傳費(萬元)與年銷售量(噸)之間近似滿足關(guān)系式。對上述數(shù)據(jù)作了初步處理,得到相關(guān)的值如下表:

753

246

183

1014

1)根據(jù)所給數(shù)據(jù),求關(guān)于的回歸方程;

2)規(guī)定當(dāng)產(chǎn)品的年銷售量(噸)與年宣傳費(萬元)的比值在區(qū)間內(nèi)時認為該年效益良好。現(xiàn)從這6年中任選3年,記其中選到效益良好年的數(shù)量為,試求隨機變量的分布列和期望。(其中為自然對數(shù)的底數(shù),

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