Question

13．已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點（1，1）和（-1，0），下列結(jié)論：
①a-b+c=0；
②b²＞4ac；
③當a＜0時，拋物線與x軸必有一個交點在點（1，0）的右側(cè)；
④拋物線的對稱軸為x=-$\frac{1}{4a}$．
其中結(jié)論正確的個數(shù)有（　�。�

• A． 4個
• B． 3個
• C． 2個
• D． 1個

Answer 1

分析 將點（-1，0）代入y=ax²+bx+c，即可判斷①正確；
將點（1，1）代入y=ax²+bx+c，得a+b+c=1，又由①得a-b+c=0，兩式相加，得a+c=$\frac{1}{2}$，兩式相減，得b=$\frac{1}{2}$．由b²-4ac=$\frac{1}{4}$-4a（$\frac{1}{2}$-a）=$\frac{1}{4}$-2a+4a²=（2a-$\frac{1}{2}$）²，當a=$\frac{1}{4}$時，b²-4ac=0，即可判斷②錯誤；
③由b²-4ac=（2a-$\frac{1}{2}$）²＞0，得出拋物線y=ax²+bx+c與x軸有兩個交點，設(shè)另一個交點的橫坐標為x，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得-1•x=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2a}$-1，即x=1-$\frac{1}{2a}$，再由a＜0得出x＞1，即可判斷③正確；
④根據(jù)拋物線的對稱軸公式為x=-$\frac{2a}$=-$\frac{1}{4a}$，即可判斷④正確．

解答 解：①∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點（-1，0），∴a-b+c=0，故①正確；
②∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點（1，1），∴a+b+c=1，又a-b+c=0，
兩式相加，得2（a+c）=1，a+c=$\frac{1}{2}$，
兩式相減，得2b=1，b=$\frac{1}{2}$．
∵b²-4ac=$\frac{1}{4}$-4a（$\frac{1}{2}$-a）=$\frac{1}{4}$-2a+4a²=（2a-$\frac{1}{2}$）²，
當2a-$\frac{1}{2}$=0，即a=$\frac{1}{4}$時，b²-4ac=0，故②錯誤；
③當a＜0時，∵b²-4ac=（2a-$\frac{1}{2}$）²＞0，
∴拋物線y=ax²+bx+c與x軸有兩個交點，設(shè)另一個交點的橫坐標為x，
則-1•x=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2a}$-1，即x=1-$\frac{1}{2a}$，
∵a＜0，∴-$\frac{1}{2a}$＞0，
∴x=1-$\frac{1}{2a}$＞1，
即拋物線與x軸必有一個交點在點（1，0）的右側(cè)，故③正確；
④拋物線的對稱軸為x=-$\frac{2a}$=-$\frac{1}{4a}$，故④正確．
故選：B．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及二次函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，難度適中．