Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC=2AB=2，且BC₁⊥A₁C．
（Ⅰ）求證：平面ABC₁⊥平面A₁C₁CA；
（Ⅱ）設(shè)D是A₁C₁的中點，判斷并證明在線段BB₁上是否存在點E，使DE∥平面ABC₁；若存在，求三棱錐E-ABC₁的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明平面ABC₁⊥平面A₁C，只需證明A₁C⊥平面ABC₁；
（Ⅱ）取AA₁中點F，連EF，F(xiàn)D，證明平面EFD∥平面ABC₁，則有ED∥平面ABC₁，利用等體積轉(zhuǎn)換，可求三棱錐E-ABC₁的體積．

解答： （I）證明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，有AA₁⊥平面ABC．
∴AA₁⊥AC，又AA₁=AC，∴A₁C⊥AC₁．             …（2分）
又BC₁⊥A₁C，∴A₁C⊥平面ABC₁，
∵A₁C?平面A₁C₁CA，
∴平面ABC₁⊥平面A₁C₁CA．    …（4分）
（II）解：取AA₁中點F，連EF，F(xiàn)D，當(dāng)E為B₁B中點時，EF∥AB，DF∥AC₁．
即平面EFD∥平面ABC₁，則有ED∥平面ABC₁．…（8分）
當(dāng)E為中點時，V _E-ABC1=V_C1-ABE=

1

3

•2•

1

2

•1•1=

1

3

．

點評：本小題主要考查利用線面垂直的判定定理證明線面垂直，考查體積的計算，并且考查空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．