Question

15．用導(dǎo)數(shù)證明：$\frac{si{n}^{8}x}{8}$-$\frac{co{s}^{8}x}{8}$-$\frac{si{n}^{6}x}{3}$+$\frac{co{s}^{6}x}{6}$+$\frac{si{n}^{4}x}{4}$=$\frac{1}{24}$．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)f（x）=$\frac{si{n}^{8}x}{8}$-$\frac{co{s}^{8}x}{8}$-$\frac{si{n}^{6}x}{3}$+$\frac{co{s}^{6}x}{6}$+$\frac{si{n}^{4}x}{4}$，求導(dǎo)，根據(jù)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，得到f′（x）=0，即f（x）為常數(shù)函數(shù)，求出令f（0）即可證明．

解答 證明：記f（x）=$\frac{si{n}^{8}x}{8}$-$\frac{co{s}^{8}x}{8}$-$\frac{si{n}^{6}x}{3}$+$\frac{co{s}^{6}x}{6}$+$\frac{si{n}^{4}x}{4}$，
∴f′（x）=sin⁷xcosx+cos⁷xsinx-2sin⁵xcosx-cos⁵xsinx+sin³xcosx，
=sinxcosx（sin⁶x+cos⁶x）-（sin⁵xcosx+cos⁵xsinx）-（sin⁵xcosx-sin³xcosx），
=sinxcosx（sin²x+cos²x）（sin⁴x-sin²xcos²x+cos⁴x）-sinxcosx（sin⁴x+cos⁴x）-sin³xcosx（sin²x-1），
=sinxcosx（sin⁴x-sin²xcos²x+cos⁴x）-sinxcosx（sin⁴x+cos⁴x）+sinxcosx•sin²xcos²x
=0，
∴f（x）是常數(shù)函數(shù)，
∴f（x）=f（0）=$\frac{si{n}^{8}0}{8}$-$\frac{co{s}^{8}0}{8}$-$\frac{si{n}^{6}0}{3}$+$\frac{co{s}^{6}0}{6}$+$\frac{si{n}^{4}0}{4}$=-$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{24}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，關(guān)鍵是三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，屬于中檔題．