Question

5．如圖，點(diǎn)P為⊙O外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B．過點(diǎn)A作PB的平行線，交⊙O于點(diǎn)C，連接PC，交⊙O于點(diǎn)E；連接AE，并延長(zhǎng)AE交PB于點(diǎn)E，求證：PE•AC=CE•KB．

Answer 1

分析 由△KPE∽△KAP，可得KP²=KE•KA，又由切割線定理得KB²=KE•KA，即KP=KB，再通過線段的轉(zhuǎn)化，即可得出結(jié)論．

解答 證明：∵AC∥PB，
∴∠KPE=∠ACE．又PA是⊙O的切線，
∴∠KAP=∠ACE，故∠KPE=∠KAP，
∴△KPE∽△KAP，
∴$\frac{KP}{KA}=\frac{KE}{KP}$，
即KP²=KE•KA．
由切割線定理得KB²=KE•KA
∴KP=KB，
∵AC∥PB，△KPE∽△ACE，
于是$\frac{PE}{CE}=\frac{KP}{AC}$，
故$\frac{PE}{CE}=\frac{KB}{AC}$，
即PE•AC=CE•KB．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)以及切割線定理，能夠掌握并熟練運(yùn)用．