Question

已知函數(shù)f（x）=

a(x2+1)+x-1

x

-lnx（a∈R）．
（1）當0＜a＜

1

2

時，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設g（x）=x²-2bx+4，當a=

1

3

時，若對任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）+g（x₂）≤0，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）直接利用函數(shù)與導數(shù)的關系，求出函數(shù)的導數(shù)，再討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）利用導數(shù)求出f（x）的最小值、利用二次函數(shù)知識或分離常數(shù)法求出g（x）在閉區(qū)間[1，2]上的最大值，然后解不等式求參數(shù)．

解答： 解（1）∵f（x）=

a(x2+1)+x-1

x

-lnx
當

1-a

a

＞1時，即0＜a＜

1

2

時，此時f（x）的單調(diào)性如下：

x	（0，1）	1	（1， 1-a a ）	1-a a	（ 1-a a ，+∞）
f′（x）	+	0	_	0	+
f（x）	增		減		增

當0＜a＜

1

2

時時，f（x）在（0，1），（

1-a

a

，+∞）上是增函數(shù)，
在（1，

1-a

a

）上是減函數(shù)．
（2）由（1）知，當a=

1

3

時，f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，2）上是減函數(shù)．
于是x₁∈（0，2）時，f（x₁）∈（-∞，

2

3

]．
存在x₂∈[1，2]，從而存在使g（x₂）=x²-2bx+4≤

x

2 2

-2bx2+4≤[-f(x1)]min=-

2

3

，[g(x)]min≤-

2

3

，x∈[1，2]，
考察g（x）=x²-2bx+4=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]最小值．
①當b≤1時，g（x）在[1，2]上遞增，[g（x）]_min=g（1）=5-2b≤-

2

3

，b≥

17

6

（舍去），
②當b≥2時，g（x）在[1，2]上遞減，[g（x）]_min=g（2）=8-4b≤-

2

3

，b≥

13

6

，
∴b≥

13

6

，
③當1＜b＜2時，g（x）_min=g（b）=4-b²≤

2

3

，無解．
綜上b≥

13

6

．

點評：本題將導數(shù)、二次函數(shù)、不等式知識有機的結(jié)合在一起，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的最值問題，考查了同學們分類討論的數(shù)學思想以及解不等式的能力；考查了學生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力．