Question

設(shè)函數(shù)y=2•（|x+1|-|x-1|）．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）求y≥2

2

的解集．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過對自變量x取值范圍的討論分析，去掉絕對值符號，得到一次函數(shù)或常函數(shù)解析式，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）通過對x＜-1、-1≤x≤1與x＞1的討論，解不等式y(tǒng)≥2

2

，最后取其并集即可．

解答： 解：（1）∵y=2•（|x+1|-|x-1|）=

-4，x＜-1 4x，-1≤x≤1 4，x＞1

．
∴當(dāng)x＜-1時，y=-4，為常函數(shù)；
當(dāng)-1≤x≤1時，y=4x，為增函數(shù)；
當(dāng)x＞1時，y=4，為常函數(shù)；
（2）當(dāng)x＜-1時，y-2

2

=-4-2

2

＜0，故y≥2

2

的解集為∅；
當(dāng)-1≤x≤1時，y=4x，由y-2

2

=4x-2

2

≥0得：x≥

2

2

，又-1≤x≤1，
∴

2

2

≤x≤1；
當(dāng)x＞1時，y=4≥2

2

恒成立；
綜上所述，y≥2

2

的解集為{x|x≥

2

2

}．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，通過對自變量x取值范圍的討論分析，去掉絕對值符號是解決問題的關(guān)鍵，考查分類討論思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．