【題目】已知函數(shù)fx)=(x12alnxa0.

1)討論fx)的單調(diào)性;

2)若fx)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2x1x2),且關(guān)于x的方程fx)=bbR)恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根x3,x4,x5x3x4x5),求證:2x2x1)>x5x3.

【答案】1)答案不唯一,具體見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

1)求導(dǎo)得f′(x),令f′(x)0,即2x22xa0,4+8a,分兩種情況①≤0,②0,討論f(x)單調(diào)性;

2)由題意得a0,畫出草圖,知0x3x1x4x2x5,0x1x21,要證:2(x2x1)x5x3,即證:2(x2x1)(x5+x4)(x3+x4),只需證:,先證:x3+x42x1.即證x42x1x3,由(1f(x)單調(diào)遞減,只需證f(x4)f(2x1x3),即證:f(x3)f(2x1x3),令g(x)f(x)f(2x1x),0xx1,求導(dǎo)數(shù),分析單調(diào)性,可得g(x)g(x1)0,故f(x)f(2x1x),在(0,x1)恒成立,f(x3)f(2x1x3)得證,同理可以證明:x3+x42x2,綜上,2(x2x1)x5x3,得證.

1)由題意得2(x1)

0,即2x22xa04+8a,

①當(dāng)a時(shí),≤0,≥0,函數(shù)f(x)(0,+∞)上單調(diào)遞增,

②當(dāng)a0時(shí),0

2x22xa0的兩根為x1,x20x1x2,

當(dāng)x(0),(,+∞)時(shí),0,f(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)x()時(shí),0f(x)單調(diào)遞減,

綜上,當(dāng)a時(shí),函數(shù)f(x)(0,+∞)上單調(diào)遞增,

當(dāng)a0時(shí),fx)在(0,)上單調(diào)遞增,在(,)上單調(diào)遞減,在(,+∞)上單調(diào)遞增.

2)證明:由題意得a0,0x3x1x4x2x5,0x1x21,如圖,

要證:2(x2x1)x5x3,

即證:2(x2x1)(x5+x4)(x3+x4)

只需證:

先證:x3+x42x1.

即證x42x1x3,

又由(1)知f(x)(x1x2)上單調(diào)遞減,

只需證f(x4)f(2x1x3)

f(x4)f(x3),即證:f(x3)f(2x1x3)

g(x)f(x)f(2x1x),0xx1

+2x22(2x1x)2,

4(x11)

2(x11)0,即x11,那么,

,而0xx1,且

0,故g(x)(0,x1)單調(diào)遞增,則g(x)g(x1)0,

f(x)f(2x1x),在(0x1)恒成立,

0x3x1,則f(x3)f(2x1x3)得證,

同理可以證明:x3+x42x2,

綜上,2(x2x1)x5x3,得證.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行線性相關(guān)性和回歸效果分析,得到一組樣本數(shù)據(jù):、、、,則下列說(shuō)法不正確的是(

A.殘差平方和越小的模型,擬合的效果越好

B.由樣本數(shù)據(jù)利用最小二乘法得到的回歸方程表示的直線必過(guò)樣本點(diǎn)的中心

C.若變量之間的相關(guān)系數(shù),則變量之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性

D.用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫回歸效果,越小,說(shuō)明模型的擬合效果越好

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖是一“T”型水渠的平面視圖(俯視圖),水渠的南北方向和東西方向軸截面均為矩形,南北向渠寬為4m,東西向渠寬m(從拐角處,即圖中,處開(kāi)始).假定渠內(nèi)的水面始終保持水平位置(即無(wú)高度差).

1)在水平面內(nèi),過(guò)點(diǎn)的一條直線與水渠的內(nèi)壁交于兩點(diǎn),且與水渠的一邊的夾角為,將線段的長(zhǎng)度表示為的函數(shù);

2)若從南面漂來(lái)一根長(zhǎng)為7m的筆直的竹竿(粗細(xì)不計(jì)),竹竿始終浮于水平面內(nèi),且不發(fā)生形變,問(wèn):這根竹竿能否從拐角處一直漂向東西向的水渠(不會(huì)卡。空(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,并滿足以下條件:對(duì)任意,有;對(duì)任意,有.

)求的值;

)求證:上是單調(diào)增函數(shù);

)若,且,求證:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知梯形ABCD滿足ABCD,∠BAD45°,以A,D為焦點(diǎn)的雙曲線Γ經(jīng)過(guò)B,C兩點(diǎn).CD7AB,則雙曲線Γ的離心率為(

A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知,

1)求的單調(diào)區(qū)間;

2)若,在其公共點(diǎn)處切線相同,求實(shí)數(shù)a的值;

3)記,若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù),.

1)若,求的最值;

2)若當(dāng)時(shí),,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某校的一個(gè)社會(huì)實(shí)踐調(diào)查小組,在對(duì)該校學(xué)生的良好“用眼習(xí)慣”的調(diào)查中,隨機(jī)發(fā)放了120分問(wèn)卷.對(duì)收回的100份有效問(wèn)卷進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如下列聯(lián)表:

做不到科學(xué)用眼

能做到科學(xué)用眼

合計(jì)

45

10

55

30

15

45

合計(jì)

75

25

100

(1)現(xiàn)按女生是否能做到科學(xué)用眼進(jìn)行分層,從45份女生問(wèn)卷中抽取了6份問(wèn)卷,從這6份問(wèn)卷中再隨機(jī)抽取3份,并記其中能做到科學(xué)用眼的問(wèn)卷的份數(shù),試求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)若在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為良好“用眼習(xí)慣”與性別有關(guān),那么根據(jù)臨界值表,最精確的的值應(yīng)為多少?請(qǐng)說(shuō)明理由.

附:獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,其中.

獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表:

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

1.323

2.072

2.706

3.840

5.024

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標(biāo)的概率分別是,假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo),相互之間沒(méi)有影響;每次射擊是否擊中目標(biāo),相互之間沒(méi)有影響.

1)求甲射擊4次,至多1次未擊中目標(biāo)的概率;

2)求兩人各射擊4次,甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率;

3)假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo),則停止射擊,求乙恰好射擊5次后被中止射擊的概率.

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