Question

【題目】函數(shù)的定義域為，并滿足以下條件：①對任意，有；②對任意，有；③.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求證：在上是單調(diào)增函數(shù)；

（Ⅲ）若，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析．

【解析】

（1）利用賦值法即可求出的值；

（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可證明；

或者構(gòu)造函數(shù)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可證明；

（3）構(gòu)造基本不等式的模型，利用不等式性質(zhì)即可證明．

解法一：

(Ⅰ)令得：

因為，所以；

（Ⅱ）任取且設(shè)則

因為，所以，

所以在上是單調(diào)增函數(shù)；

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，因為

又，

所以

所以

解法二：

(Ⅰ)因為對任意，有，且對任意，

所以，當(dāng)時

故．

（Ⅱ）因為，所以

所以在上是單調(diào)增函數(shù)，即在上是單調(diào)增函數(shù)

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，

而，所以

所以