若P（x0，y0）在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1外，過(guò)P做橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1，P2，求切點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：首先求出過(guò)橢圓上任意一點(diǎn)的切線方程，得到過(guò)橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1，P2的切線方程，結(jié)合兩直線均過(guò)
P（x0，y0），可得
x1x0
a2
+
y1y0
b2
=1，
x2x0
a2
+
y2y0
b2
=1．由此說(shuō)明P1（x1，y1），P2（x2，y2）均在直線
x0x
a2
+
y0y
b2
=1上．即可得到切點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程．
解答： 解：設(shè)M（m，n）為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1上一點(diǎn)，
當(dāng)M在x軸上方時(shí)，
由
x2
a2
+
y2
b2
=1，得y=
b
a
a2-x2
，y′=-
b
a
•
x
a2-x2
，
過(guò)M點(diǎn)的橢圓的切線的斜率k=y′|x=m=-
b
a
•
m
a2
b2
•n2
=-
b2
a2
•
m
n
．
由點(diǎn)斜式得：y-n=-
b2
a2
•
m
n
(x-m)，
b2mx+a2ny=b2m2+a2n2=a2b2，
即
mx
a2
+
ny
b2
=1．
當(dāng)M點(diǎn)是橢圓與x軸的兩交點(diǎn)時(shí)，上式顯然成立，
當(dāng)M在x軸下方時(shí)，由對(duì)稱性可知過(guò)M點(diǎn)的橢圓的切線的方程為
mx
a2
+
ny
b2
=1．
綜上可知，過(guò)M點(diǎn)的橢圓的切線的方程為
mx
a2
+
ny
b2
=1．
再設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），
由上可知，過(guò)P1的切線方程為
x1x
a2
+
y1y
b2
=1，
過(guò)P2的切線方程為
x2x
a2
+
y2y
b2
=1．
又兩切線均過(guò)P（x0，y0），
∴
x1x0
a2
+
y1y0
b2
=1，
x2x0
a2
+
y2y0
b2
=1．
說(shuō)明P1（x1，y1），P2（x2，y2）均在直線
x0x
a2
+
y0y
b2
=1上．
∵過(guò)兩點(diǎn)的直線唯一，
∴切點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程為：
x0x
a2
+
y0y
b2
=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓的關(guān)系，考查了橢圓的切點(diǎn)弦方程的求法，訓(xùn)練了統(tǒng)一法求曲線的方程，是壓軸題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)y=
log2(1-x)
2x-
1
2
的定義域是（　�。�
A、（-∞，-1）
B、[-1，1]
C、（-1，1）
D、（1，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列命題中，錯(cuò)誤的是（　　）
A、若a＞b，c＜d，則a-c＞b-d
B、若a＞b＞0，c＜d＜0，則ac＜bd
C、若a＞b，則
3a
＞
3b
D、若a＞b，則
1
a2
＜
1
b2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓G：
x2
4
+y2=1．過(guò)x軸上的動(dòng)點(diǎn)P（m，0）作圓x2+y2=1的切線l交橢圓G于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓G上的點(diǎn)到直線x-2y+1=0的最大距離；
（Ⅱ）①當(dāng)實(shí)數(shù)m=1時(shí)，求A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)；
②將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右準(zhǔn)線l2與一條漸近線l交于點(diǎn)P，F(xiàn)是雙曲線的右焦點(diǎn)．
（1）求證：PF⊥l；
（2）若|PF|=3，且雙曲線的離心率e=
5
4
，求該雙曲線方程；
（3）延長(zhǎng)FP交雙曲線左準(zhǔn)線l1和左支分別為點(diǎn)M、N，若M為PN的中點(diǎn)，求雙曲線的離心率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1（-2，0）、F2（2，0），點(diǎn)P（3，
7
）在雙曲線C上．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)的直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=4
2
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
2x+3
3x
（x＞0），數(shù)列{an}滿足a1=1，an=f（
1
an-1
）（n∈N*，且n≥2）．
（1）求證數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+（-1）n-1anan+1，若Tn≥tn2對(duì)n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ex
2
-
1
ex
-ax（a∈R）．
（1）當(dāng)a=
3
2
時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在[-1，1]上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì)A、乙對(duì)B各比一盤．已知甲勝A，乙勝B的概率分別為0.6、0.5．假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
（1）求紅隊(duì)至少一名隊(duì)員獲勝的概率；
（2）用ξ表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求ξ的分布列．

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