Question

已知函數(shù)f（x）=

ex

2

-

1

ex

-ax（a∈R）．
（1）當(dāng)a=

3

2

時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在[-1，1]上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）需要分兩類，函數(shù)f（x）在[-1，1]上為單調(diào)減函數(shù)和函數(shù)f（x）在[-1，1]上為單調(diào)增函數(shù)，然后分離參數(shù)，根據(jù)函數(shù)的最值，求出范圍即可．

解答： 解：（1）當(dāng)a=

3

2

時，函數(shù)f（x）=

ex

2

-

1

ex

-

3

2

x，
∴f′（x）=

ex

2

+

1

ex

-

3

2

=

e2x-3ex+2

2ex

=

(ex-1)(ex-2)

2ex

，
令f′（x）=0，解得x=0．或x=ln2，
當(dāng)f′（x）＞0時，即x＜0，或x＞ln2，故函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時，即0＜x＜ln2，故函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
所以函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間為（-∞．0）∪（ln2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，ln2）
（2）∵f′（x）=

ex

2

+

1

ex

-a，
①若函數(shù)f（x）在[-1，1]上為單調(diào)減函數(shù)，
∴f′（x）=

ex

2

+

1

ex

-a≤0，在[-1，1]恒成立，
即a≥

ex

2

+

1

ex

令g（x）=

ex

2

+

1

ex

，
則g′（x）=

ex

2

-

1

ex

=

(ex+ 2 )(ex- 2 )

2ex

，
 當(dāng)x∈[-1，ln

2

），g（x）單調(diào)遞減，x∈（ln

2

，1]單調(diào)遞增，
又因?yàn)間（1）=

e

2

+

1

e

，g（-1）=

1

2e

+e，
g（1）＜g（-1），
故g（x）_max=g（-1）=

1

2e

+e，
故a≥

1

2e

+e，
②若函數(shù)f（x）在[-1，1]上為單調(diào)增函數(shù)，
∴f′（x）=

ex

2

+

1

ex

-a＞0，在[-1，1]恒成立，
即a＜

ex

2

+

1

ex

令h（x）=

ex

2

+

1

ex

，
則h′（x）=

ex

2

-

1

ex

=

(ex+ 2 )(ex- 2 )

2ex

，
 當(dāng)x∈[-1，ln

2

），g（x）單調(diào)遞減，x∈（ln

2

，1]單調(diào)遞增，
故當(dāng)x=ln

2

，h（x）有最小值，最小值為h（x）_min=h（ln

2

）=

2

故a≤

2

，
綜上所述實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，

2

]∪[

1

2e

+e，+∞）

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)餓最值知識，考查運(yùn)算求解能力分類討論的能力，屬于中檔題．