Question

14．已知三棱錐P-ABC，底面ABC是邊長為2$\sqrt{3}$的正三角形，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=2，D為AP上一點，AD=2DP，O是底面三角形的重心．
（1）求證：BD⊥AC；
（2）求多面體PDOBC的體積．

Answer 1

分析 （1）取BC的中點M，連接PM、AM、BN、DN，在△PBC中，結合線面垂直的性質可得PM⊥平面ABC，在△ABC中，結合等邊三角形以及三角形重心的性質，分析可得DO∥PM，又由于線面垂直的性質可得證明；
（2）根據(jù)題意，分析可得V_{多面體PDOBC}=V_B-PDOM+V_C-PDOM，由于PM⊥BC且BC⊥AM，可得BC⊥平面PMA，即可得四棱錐B-PDOM與C-PDOM高，由梯形的面積公式S_梯形DOMP=$\frac{5}{6}$，帶入棱錐體積公式計算可得答案．

解答 解：（1）取BC的中點M，連接PM、AM、BN、DN，
∵在△PBC中，PB=PC，M為BC的中點，
∴PM⊥BC，
又∵平面PBC⊥平面ABC，
∴PM⊥平面ABC；
∵△ABC是正三角形，O是底面三角形的重心，
∴O在直線AM與直線BN的交點，且AO=2MO，
又∵D為AP上一點，AD=2DP，
∴DO∥PM，
又∵PM⊥平面ABC，
∴DO⊥平面ABC，
∴DO⊥AC，
又∵BN⊥AC，且DO與BN都在平面BND中，且交與點O，
∴AC⊥BD，
（2）根據(jù)題意，分析可得V_{多面體PDOBC}=V_B-PDOM+V_C-PDOM，
∵PM⊥BC，且BC⊥AM，
∴BC⊥平面PMA，
BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，即四棱錐B-PDOM與C-PDOM高均為$\sqrt{3}$，
又由于DO∥PM，即四邊形DOMP是梯形，且OM⊥MP，
且其中AM=3，OM=$\frac{1}{3}$AM=1，PM=1，DO=$\frac{2}{3}$PM=$\frac{2}{3}$，
則S_梯形DOMP=$\frac{5}{6}$，
V_{多面體PDOBC}=V_B-PDOM+V_C-PDOM=$\frac{1}{3}$×$\frac{5}{6}$×$\sqrt{3}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{5}{6}$×$\sqrt{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{18}$．

點評 本題考查多面體的體積計算以及空間線面、面面垂直的性質的運用，求多面體的求體積時一般用分割補型的方法．