Question

19．如果對(duì)于一個(gè)集合中任意兩個(gè)元素，作某種運(yùn)算后的結(jié)果仍在這個(gè)集合中，則稱該集合對(duì)此運(yùn)算是封閉的．已知集合A={0，1}，B={y|y=m+n$\sqrt{2}$，m，n∈z}．試判斷A、B對(duì)加、減、乘、除四種運(yùn)算是否封閉，為什么？

Answer 1

分析 對(duì)集合A，B中任取元素，從而分別確定元素的和，差，積，商是否還在集合中即可，注意舉反例．

解答 解：∵0+1=1+0=1∈A，
0-1=-1∉A，1-0=1∈A，
0×1=1×0=0∈A，
1÷0沒(méi)有意義；
∴集合A對(duì)加法，乘法封閉，對(duì)減法，除法不封閉；
設(shè)x=a+$\sqrt{2}$b，y=m+n$\sqrt{2}$，（a，b，m，n∈Z）；
x+y=a+m+$\sqrt{2}$（b+n）∈B，
x-y=a-m+$\sqrt{2}$（b-n）∈B，
xy=（am+2bn）+$\sqrt{2}$（an+mb）∈B，
當(dāng)m=n=0時(shí)，x÷y沒(méi)有意義；
故集合B對(duì)加法，減法，乘法封閉，對(duì)除法不封閉．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了集合的化簡(jiǎn)與元素與集合的關(guān)系的應(yīng)用．