【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=2|x﹣1|+x﹣1,g(x)=16x2﹣8x+1.記f(x)≤1的解集為M,g(x)≤4的解集為N.
(1)求M;
(2)當(dāng)x∈M∩N時(shí),證明:x2f(x)+x[f(x)]2

【答案】
(1)解:由f(x)=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得 ①,或 ②.

解①求得1≤x≤ ,解②求得 0≤x<1.

綜上,原不等式的解集為[0, ].


(2)證明:

由g(x)=16x2﹣8x+1≤4,求得﹣ ≤x≤ ,

∴N=[﹣ , ],

∴M∩N=[0, ].

∵當(dāng)x∈M∩N時(shí),f(x)=1﹣x,

∴x2f(x)+x[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]= ,

故要證的不等式成立.


【解析】(1)由所給的不等式可得 ①,或 ②,分別求得①、②的解集,再取并集,即得所求.(2)由g(x)≤4,求得N,可得M∩N=[0, ].當(dāng)x∈M∩N時(shí),f(x)=1﹣x,不等式的左邊化為 ,顯然它小于或等于 ,要證的不等式得證.
【考點(diǎn)精析】掌握集合的交集運(yùn)算是解答本題的根本,需要知道交集的性質(zhì):(1)A∩BA,A∩BB,A∩A=A,A∩=,A∩B=B∩A;(2)若A∩B=A,則AB,反之也成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣2)ex+a(x﹣1)2
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】過(guò)拋物線y2=8x的焦點(diǎn),作傾斜角為45°的直線,則被拋物線截得的弦長(zhǎng)為(  )

A. 8 B. 16 C. 32 D. 64

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為了調(diào)查某校高二同學(xué)是否需要學(xué)校提供學(xué)法指導(dǎo),用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該校高二年級(jí)調(diào)查了55位同學(xué),結(jié)果如下:

需要

20

10

不需要

10

15

Ⅰ)估計(jì)該校高二年級(jí)同學(xué)中,需要學(xué)校提供學(xué)法指導(dǎo)的同學(xué)的比例(用百分?jǐn)?shù)表示,保留兩位有效數(shù)字);

Ⅱ)能否有95%的把握認(rèn)為該校高二年級(jí)同學(xué)是否需要學(xué)校提供學(xué)法指導(dǎo)與性別有關(guān)?

Ⅲ)根據(jù)(Ⅱ)的結(jié)論,能否提出更好的調(diào)查方法來(lái)估計(jì)該校高二年級(jí)同學(xué)中,需要學(xué)校提供學(xué)法指導(dǎo)?說(shuō)明理由.

附:

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為了讓觀賞游玩更便捷舒適,常州恐龍園推出了代步工具租用服務(wù).已知有腳踏自行車(chē)與電動(dòng)自行車(chē)兩種車(chē)型,采用分段計(jì)費(fèi)的方式租用.型車(chē)每分鐘收費(fèi)元(不足分鐘的部分按分鐘計(jì)算),型車(chē)每分鐘收費(fèi)元(不足分鐘的部分按分鐘計(jì)算),現(xiàn)有甲乙丙丁四人,分別相互獨(dú)立地到租車(chē)點(diǎn)租車(chē)騎行(各租一車(chē)一次),設(shè)甲乙丙丁不超過(guò)分鐘還車(chē)的概率分別為,并且四個(gè)人每人租車(chē)都不會(huì)超過(guò)分鐘,甲乙丙均租用型車(chē),丁租用型車(chē).

(1)求甲乙丙丁四人所付的費(fèi)用之和為25元的概率;

(2)求甲乙丙三人所付的費(fèi)用之和等于丁所付的費(fèi)用的概率;

(3)設(shè)甲乙丙丁四人所付費(fèi)用之和為隨機(jī)變量,求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若△ABC為銳角三角形,且滿足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是(  )
A.a=2b
B.b=2a
C.A=2B
D.B=2A

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】若一條直線a與平面α內(nèi)的一條直線b所成的角為30°,則下列說(shuō)法正確的是(  )

A. 直線a與平面α所成的角為30° B. 直線a與平面α所成的角大于30°

C. 直線a與平面α所成的角小于30° D. 直線a與平面α所成的角不超過(guò)30°

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知f(x)=ln(mx+1)﹣2(m≠0).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若m>0,g(x)=f(x)+ 存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2 , 且g(x1)+g(x2)<0,求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,四棱錐PABCD中,AP⊥平面PCD,ADBCABBCAD,E,F分別為線段AD,PC的中點(diǎn).

(1)求證:AP∥平面BEF

(2)求證:BE⊥平面PAC.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案